Appartenance (mathématiques)

En mathématique ensembliste, l’appartenance est une relation entre un élément et un ensemble, et également par abus de notations une relation entre un objet et une classe.

Le symbole de l'appartenance.

On écrit ${\displaystyle x\in E}$ pour signifier que l'élément ${\displaystyle x}$ appartient à l'ensemble ${\displaystyle E}$, ou que l'objet ${\displaystyle x}$ appartient à la classe ${\displaystyle E}$.

L'axiome d'extensionnalité donne un rôle important à la relation d'appartenance, car elle permet de caractériser un ensemble par les éléments qui lui appartiennent. L'axiome de fondation énonce que la relation d'appartenance est bien fondée, ce qui interdit notamment qu'un ensemble puisse être élément de lui-même^{[Note 1]}. L'appartenance n'est ni symétrique, ni transitive^{[Note 2]}, ni réflexive.

Notation et terminologie

Première utilisation de ϵ par Giuseppe Peano.

Le symbole ${\displaystyle \in }$ a été introduit par Giuseppe Peano en 1889 dans Arithmetices principia, nova methodo exposita (en) (page X) :

« Signum ϵ significat est. Ita a ϵ b legitur a est quoddam b ; ... »

Il s'agit d'un epsilon, première lettre de la troisième personne du singulier ἐστί du verbe « être » en grec ancien. Sa graphie correspond à celle répandue en Europe continentale à l'époque de Peano. Cependant Peano utilisera aussi le symbole ε^[1].

La relation ${\displaystyle x\in E}$ se lisait ainsi à l'origine « ${\displaystyle x}$ est un ${\displaystyle E}$ »^[1]. Cette formulation subsiste aujourd'hui dans une certaine mesure, par exemple lorsque l'on traduit ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ par « ${\displaystyle n}$ est un entier naturel »^{[Note 3]}.

Dans le cas général ${\displaystyle x\in E}$ se lit de nos jours « ${\displaystyle x}$ appartient à ${\displaystyle E}$ », « ${\displaystyle x}$ est un élément de ${\displaystyle E}$ », ou « ${\displaystyle x}$ est dans ${\displaystyle E}$ »^{[Note 4]}.

La relation réciproque ${\displaystyle E\ni x}$, moins utilisée, se lit « ${\displaystyle E}$ contient ${\displaystyle x}$ », « ${\displaystyle E}$ comprend ${\displaystyle x}$ », ou « ${\displaystyle E}$ possède ${\displaystyle x}$ ». Le terme contient présente le désavantage d'être ambigu, pouvant également désigner l'inclusion. Utiliser possède, comme le recommande Gérard Debreu en soulignant que possède est le symétrique naturel de appartient^[2], élude ce problème. D'autres auteurs, tels que Paul Halmos^[3] ou George Boolos^[4], recommandent plutôt d'utiliser systématiquement « ${\displaystyle E}$ contient ${\displaystyle x}$ » pour traduire ${\displaystyle E\ni x}$, et « ${\displaystyle E}$ inclut ${\displaystyle X}$ » pour ${\displaystyle E\supseteq X}$. Enfin, la plupart des auteurs, dont par exemple Nicolas Bourbaki^{[Note 4]}, n'utilisent tout simplement pas cette relation réciproque, tournant systématiquement leurs phrases de façon à pouvoir utiliser « ${\displaystyle x}$ appartient à ${\displaystyle E}$ » ou « ${\displaystyle x}$ est un élément de ${\displaystyle E}$ ».

En LaTex : ${\displaystyle x\in E}$ s'écrit en utilisant la commande « \in », signifiant dans en anglais ; ${\displaystyle E\ni x}$ s'écrit en utilisant l'une des commandes équivalentes « \ni » et « \owns », respectivement un « \in » inversé et possède en anglais.

Dans le langage de programmation Haskell qui admet une définition de listes en compréhension, l'appartenance se note <-.

Première approche

La définition historique donnée par Cantor en 1895^[5] est :

« Un ensemble est une collection ${\displaystyle M}$ d'objets issus de notre intuition ou de notre pensée (que nous appellerons éléments de ${\displaystyle M}$), considérée comme un tout. »

Par exemple, si ${\displaystyle M=\{1,2,3\}}$, alors ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 2}$ et ${\displaystyle 3}$ sont les éléments de ${\displaystyle M}$. Ils appartiennent à ${\displaystyle M}$.

On prendra garde à ne pas confondre « élément » et « sous-ensemble ». Dans l'exemple qui précède, ${\displaystyle \{1,2\}}$ et ${\displaystyle \{3\}}$ sont parmi d'autres des sous-ensembles de ${\displaystyle M}$ mais n'en sont pas des éléments. Ils n'appartiennent donc pas à ${\displaystyle M}$, au même titre que ${\displaystyle 7}$ ou ${\displaystyle \pi }$.

Approche formelle

Les exposés contemporains de la théorie des ensembles la décrivent comme une théorie égalitaire du premier ordre comportant outre l'égalité = un seul prédicat binaire, l'appartenance ${\displaystyle \in }$^[6]. Dans cette approche, la phrase « x est élément de M » n'est que la verbalisation de la formule ${\displaystyle x\in M}$.

Le formalisme le plus généralement admis est celui de Zermelo-Fraenkel.

Felix Hausdorff relève que cette approche ne constitue pas une définition à partir d'un concept antérieur, mais est un point de départ pour la formalisation d'une grande partie des mathématiques :

« on pourra objecter qu'on a défini idem per idem voire obscurum per obscurius. Il faut considérer qu'il n'y a pas là une définition mais un procédé d'exposition, une référence à un concept primitif familier à tous […]^{[Note 5]}. »

Éléments d'ensembles, éléments de classes

Dans l'expression « x est élément de M », la lettre M désigne souvent un ensemble. C'est notamment ce que suppose la présentation formelle donnée plus haut, où cette expression est notée ${\displaystyle x\in M}$.

Une théorie trop naïve des ensembles conduisant à des paradoxes fameux, comme celui créé par l'ensemble de tous les ensembles, il est parfois utile de considérer une relation d'appartenance d'un élément x à un objet M qui n'est pas un ensemble mais une classe. C'est par exemple le cas en théorie des catégories ; dans ce dernier contexte, toutefois, on utilise plutôt l'expression : « x est un "objet" de M ».

Dans le formalisme des classes de la théorie la plus couramment utilisée, la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, les classes s'identifient à des prédicats unaires du langage. Dire que x est élément de la classe M correspondant au prédicat P, c'est simplement une autre façon de dire que P(x) est vrai.

Symbole d'appartenance

Le symbole d'appartenance « ∈ » est un symbole mathématique introduit par Giuseppe Peano^[7] pour l'appartenance en théorie des ensembles. Sa graphie correspond à celle de la lettre grecque epsilon en Europe continentale à cette époque.

Il en existe une version minuscule et une version barrée, et ces trois caractères ont également un codage Unicode renversé de droite à gauche.

Nom	Unicode		HTML	LaTeX
appartient à	∈	2208	∈	${\displaystyle \in }$	\in
n'appartient pas à	∉	2209	∉	${\displaystyle \notin }$	\notin
petit appartient à	∊	220A
contient comme élément	∋	220B	∋	${\displaystyle \ni }$	\ni ou \owns
ne contient pas comme élément	∌	220C		${\displaystyle \not \ni }$	\not\ni ou \not\owns
petit contient comme élément	∍	220D

Ce symbole est repris comme titre d'un recueil de poésie publié par Jacques Roubaud en 1967. Pour l'auteur, il est aussi « par extension, symbole de l'appartenance au monde de « l'être au monde »^[8]. »

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• ∈, sur le Wiktionnaire

Articles connexes

• Inclusion
• SETL, un langage de programmation fondé sur la notion d'ensemble
• Liste en compréhension

Notes et références

Notes

1. D'autres théories des ensembles requièrent au contraire l'axiome d'anti-fondation pour obtenir des hyperensembles (en) qui échappent à cette restriction.
2. Mais peut l'être sur une sous-classe d'ensembles, comme il en est sur la classe particulière, mais souvent considérée, des nombres ordinaux.
3. Qui est plutôt une affirmation du type de ${\displaystyle n}$, à savoir celui des entiers naturels, que l'on noterait formellement aujourd'hui ${\displaystyle n:\mathbb {N} }$.
4. Nicolas Bourbaki recommande d'utiliser « ${\displaystyle x}$ appartient à ${\displaystyle E}$ » ou « ${\displaystyle x}$ est un élément de ${\displaystyle E}$ » (E II.1) ; mis à part quelques rares exceptions (par exemple « tout sous-groupe du groupe additif Z qui contient 1 est égal à Z », A I.98), cette recommandation est respectée dans l'ensemble des Éléments de mathématiques.
5. Comme le fait remarquer dans son exposé de la théorie des ensembles ((en) Felix Hausdorff, Set theory, AMS Chelsea Publishing, 1957 (rééd. 2000) (1937 pour l'édition allemande), 352 p. (ISBN 978-0-8218-3835-8), page 11.

Références

1. G. Peano, Formulaire de mathématiques, Tome II, Logique mathématique (1897) Notations pour les classes
2. Debreu, Gérard., Theory of value : an axiomatic analysis of economic equilibrium., Yale Univ. Press (ISBN 978-0-300-01558-4, OCLC 632217029, lire en ligne)
3. (en) Paul Halmos, « How to Write Mathematics », L'Enseignement mathématique, Vol.16,‎ 1970, p. 144 (lire en ligne)
4. George Boolos (4 février 1992). 24.243 Classical Set Theory (lecture). (Speech). Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, MA.
5. (de) Georg Cantor, Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, Leipzig, Teubner, 1894-1895, page 481 [Lire en ligne sur Gallica (page consultée le 14 avril 2009)]
6. Voir René Cori et Daniel Lascar, Logique mathématique II. Fonctions récursives, théorème de Gödel, théorie des ensembles, théorie des modèles [détail des éditions], chapitre 7, p. 113-114 notamment.
7. Hans Freudenthal, « Notation mathématique », Dictionnaire des mathématiques – fondements, probabilités, applications, Encyclopædia Universalis et Albin Michel, Paris 1998.
8. Jacques Roubaud, ∈, Paris, Gallimard, coll. Poésie/Gallimard, 1988 (1^re éd. 1967), 154 p. (ISBN 978-2-07-032524-5, BNF 34992581), p. 11.

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