Zéro d'une fonction holomorphe

En analyse complexe, on appelle zéro d'une fonction holomorphe ${\displaystyle f}$ un nombre complexe ${\displaystyle a}$ tel que ${\displaystyle f(a)=0}$.

Ordre de multiplicité d'un zéro isolé

Dans toute cette section, ${\displaystyle U}$ désigne un ouvert de ℂ, ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ une fonction holomorphe et ${\displaystyle a}$ (élément de ${\displaystyle U}$) un zéro de ${\displaystyle f}$.

Il existe un disque ouvert ${\displaystyle \mathrm {D} (a,r)}$ inclus dans ${\displaystyle U}$ où ${\displaystyle f}$ se développe en série entière (de rayon de convergence au moins égal à ${\displaystyle r}$) :

${\displaystyle \forall \,z\in \mathrm {D} (a,\,r),\,f(z)=\sum _{k=1}^{+\infty }\alpha _{k}\,(z-a)^{k}}$ (le terme constant est ${\displaystyle \alpha _{0}=f(a)=0}$ et les autres coefficients sont ${\displaystyle \alpha _{k}=f^{(k)}(a)/k!}$).

Définition — ${\displaystyle a}$ est un zéro isolé de ${\displaystyle f}$ si c'est un point isolé de l'ensemble des zéros de ${\displaystyle f}$, c'est-à-dire si, dans un disque de centre ${\displaystyle a}$ et de rayon suffisamment petit, ${\displaystyle a}$ est le seul point où ${\displaystyle f}$ s'annule.

Deux cas (seulement) sont possibles :

• Si pour tout entier ${\displaystyle k>0}$, ${\displaystyle \alpha _{k}=0}$, alors

${\displaystyle \forall \,z\in \mathrm {D} (a,\,r),\,f(z)=0}$ : ${\displaystyle f}$ est identiquement nulle sur ${\displaystyle \mathrm {D} (a,r)}$ ; ${\displaystyle a}$ est donc dans ce cas un zéro non isolé ;

• Dans le cas contraire, soit ${\displaystyle n}$ l'indice du premier coefficient non nul de la série entière (${\displaystyle n\geq 1}$ et ${\displaystyle \alpha _{n}\neq 0}$) : on peut écrire

${\displaystyle \forall \,z\in \mathrm {D} (a,\,r),\,f(z)=\sum _{k=n}^{+\infty }\alpha _{k}\,(z-a)^{k}=(z-a)^{n}\,g(z),}$

où ${\displaystyle g\,:\,\mathrm {D} (a,\,r)\,\to \,\mathbb {C} }$ est définie par :

${\displaystyle \forall \,z\in \mathrm {D} (a,\,r),\,g(z)=\sum _{\ell =0}^{+\infty }\alpha _{\ell +n}\,(z-a)^{\ell }.}$

Cette fonction ${\displaystyle g}$ est analytique et ${\displaystyle g(a)=\alpha _{n}}$ est non nul.

Par continuité de ${\displaystyle g}$ en ${\displaystyle a}$, il existe un réel strictement positif ${\displaystyle r_{1}<r}$ tel que ${\displaystyle g}$ ne s'annule pas sur ${\displaystyle \mathrm {D} (a,r_{1})}$.

Finalement, pour tout élément ${\displaystyle z}$ de ${\displaystyle \mathrm {D} (a,r_{1})}$ :

${\displaystyle f(z)=(z-a)^{n}g(z)\quad {\text{et}}\quad g(z)\neq 0.}$

On en déduit que ${\displaystyle a}$ est le seul point de ${\displaystyle \mathrm {D} (a,r_{1})}$ où ${\displaystyle f}$ s'annule ; ${\displaystyle a}$ est donc dans ce cas un zéro isolé.

On peut résumer ceci par la définition et le théorème suivants.

Définition

L'ordre de multiplicité (ou la multiplicité) d'un zéro isolé ${\displaystyle a}$ de ${\displaystyle f}$ est l'unique entier ${\displaystyle n>0}$ tel que :

• pour tout entier naturel ${\displaystyle k<n}$, ${\displaystyle f^{(k)}(a)=0~}$

et

• ${\displaystyle f^{(n)}(a)\neq 0.}$

Lorsque ${\displaystyle n=1}$, on dit que ${\displaystyle a}$ est un zéro simple.

Théorème

• ${\displaystyle a}$ est un zéro isolé d'ordre ${\displaystyle n}$ de ${\displaystyle f}$ (si et) seulement s'il existe une fonction holomorphe ${\displaystyle g}$, définie sur un disque ouvert ${\displaystyle \mathrm {D} (a,r)}$ inclus dans ${\displaystyle U}$, telle que :
  • ${\displaystyle \forall \,z\in \mathrm {D} (a,\,r),\,f(z)=(z-a)^{n}\,g(z)}$ et
  • ${\displaystyle g(a)\neq 0.}$
• Principe des zéros isolés : si ${\displaystyle a}$ est un zéro non isolé de ${\displaystyle f}$, alors il existe un disque ouvert ${\displaystyle \mathrm {D} (a,r)}$ inclus dans ${\displaystyle U}$ sur lequel ${\displaystyle f}$ est nulle.

Remarque

On définit en algèbre la notion analogue d'ordre de multiplicité d'une racine d'un polynôme non nul, dont celle qui vient d'être définie constitue une généralisation.

Exemple

Soient ${\displaystyle a}$ un nombre complexe et

${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} ,~z\mapsto \exp(z)-\exp(a)-(z-a)~\exp(a).}$

Cette fonction est entière (c'est-à-dire holomorphe sur ℂ) et ${\displaystyle a}$ en est un zéro isolé d'ordre 2.

On vérifie en effet que

${\displaystyle f(a)=f'(a)=0\quad {\text{et}}\quad f''(a)\neq 0.}$

Application

Du principe des zéros isolés on déduit le principe suivant, dont une démonstration est proposée dans l'article Prolongement analytique.

Principe du prolongement analytique

Soient ${\displaystyle U}$ un ouvert connexe de ℂ et deux fonctions ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$ définies et holomorphes sur ${\displaystyle U}$.

Si l'ensemble ${\displaystyle \{z\in U\mid f_{1}(z)=f_{2}(z)\}}$ possède au moins un point non isolé, alors ${\displaystyle f_{1}=f_{2}}$.

Ou encore :

s'il existe un élément ${\displaystyle a}$ de ${\displaystyle U}$ et une suite ${\displaystyle (z_{n})}$ d'éléments de ${\displaystyle U}$ distincts de ${\displaystyle a}$, convergeant vers ${\displaystyle a}$, tels que pour tout entier ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle f_{1}(z_{n})=f_{2}(z_{n})}$, alors

${\displaystyle \forall z\in U\quad f_{1}(z)=f_{2}(z)}$.

Exemple

Soit ${\displaystyle U}$ un ouvert connexe de ℂ contenant un intervalle ${\displaystyle I}$ de ℝ non réduit à un point : les points de ${\displaystyle I}$ sont non isolés.

Si les fonctions ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$ sont holomorphes sur ${\displaystyle U}$ et coïncident sur ${\displaystyle I}$, alors elles coïncident sur ${\displaystyle U}$.

Cela signifie qu'une fonction de ${\displaystyle I}$ dans ℂ admet au plus un prolongement analytique à un ouvert connexe ${\displaystyle U}$ de ℂ contenant ${\displaystyle I}$.

• Ainsi, la fonction exponentielle complexe est le seul prolongement analytique à ℂ de la fonction exponentielle réelle.
• On suppose connue l'identité ${\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)}$ pour tout couple de réels. On peut l'étendre par prolongement analytique à un couple quelconque de nombres complexes. En effet :
  • Soit ${\displaystyle y}$ un réel quelconque. On définit sur ℂ (ouvert connexe) deux fonctions holomorphes ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$ en posant ${\displaystyle f_{1}(z)=\exp(z+y)}$ et ${\displaystyle f_{2}(z)=\exp(z)\exp(y)}$. Ces deux fonctions coïncident sur ℝ, donc (principe du prolongement analytique) sur ℂ : pour tout complexe ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle \exp(z+y)=\exp(z)\exp(y)}$, et cela pour tout réel ${\displaystyle y}$ ;
  • Soit ${\displaystyle z}$ un complexe quelconque. On définit sur ℂ (ouvert connexe) deux fonctions holomorphes ${\displaystyle f_{3},f_{4}}$ en posant ${\displaystyle f_{3}(u)=\exp(z+u)}$ et ${\displaystyle f_{4}(u)=\exp(z)\exp(u)}$. Ces deux fonctions coïncident sur ℝ (d'après le point précédent), donc (principe du prolongement analytique) sur ℂ : pour tout complexe ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle \exp(z+u)=\exp(z)\exp(u)}$, et cela pour tout complexe z.

Nombre de zéros

Le principe de l'argument permet de donner le nombre de zéros d'une fonction holomorphe, comptés avec multiplicité, inclus dans un disque.

Si F est holomorphe sur un voisinage d'un disque fermé D tel que F ne s'annule pas sur le bord du disque, la formule suivante donne le nombre de zéros de F, comptés avec multiplicité, dans le disque D :

${\displaystyle {\frac {1}{2i\pi }}\oint _{\partial D}{\frac {F'(\xi )}{F(\xi )}}~\mathrm {d} \xi .}$

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