Vecteur nul

Dans un espace vectoriel E sur un corps commutatif ${\displaystyle K}$, le vecteur nul est l'unique vecteur représentant l'élément neutre pour l'addition vectorielle. Son existence est donnée par la définition de la structure d'espace vectoriel. Il peut être noté ${\displaystyle 0_{E}\,}$ ou ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ou encore ${\displaystyle {\vec {0}}}$, ou tout simplement 0.

Comme tout élément neutre, le vecteur nul est unique. La preuve est élémentaire : si ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ sont deux vecteurs nuls d'un même espace vectoriel E, alors ${\displaystyle a=a+b}$ par nullité de ${\displaystyle b}$ et ${\displaystyle b=a+b}$ par nullité de ${\displaystyle a}$, donc ${\displaystyle a=b}$.

Propriétés et remarques

• Il est le résultat de la multiplication par le scalaire ${\displaystyle 0_{K}\,}$ de n'importe quel vecteur de E et de la multiplication par n'importe quel scalaire par lui-même. Plus précisément, pour un scalaire ${\displaystyle \lambda }$ et un vecteur v,

${\displaystyle \lambda v=0_{E}\iff (\lambda =0_{K}\ {\text{ou}}\ v=0_{E}).}$

• Pour tous espaces vectoriels E et F, et toute application linéaire ${\displaystyle f:E\rightarrow F}$, le vecteur nul de E est envoyé par f sur le vecteur nul de F : ${\displaystyle f(0_{E})=0_{F}}$.
• L'image réciproque du sous-espace vectoriel de E réduit au vecteur nul par une application linéaire ${\displaystyle f}$ est un sous-espace vectoriel de E : il est appelé noyau de l'application linéaire f.
• L'espace vectoriel réduit au vecteur nul est l'unique espace vectoriel qui ne possède qu'un seul élément, le vecteur nul. Il est appelé l'espace nul.

Exemples

• Lorsque K est un corps commutatif, dans l'espace vectoriel ${\displaystyle (K,+,\cdot )}$, le vecteur nul est l'élément neutre additif de ${\displaystyle K}$, c'est-à-dire ${\displaystyle 0_{K}}$.
• Dans le K-espace vectoriel Kⁿ, le vecteur nul est le n-uplet ${\displaystyle (0,\ldots ,0)}$ où ${\displaystyle 0}$ est l'élément neutre pour l'addition du corps K.
• Si E est un sous-espace vectoriel de F, le vecteur nul de E est le vecteur nul de F.
• Pour tout ensemble X, le vecteur nul de l'espace ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,\mathbb {R} )}$ des fonctions réelles sur X est la fonction nulle, qui à tout point de X associe 0.
• En vertu des deux points précédents, dans l'espace vectoriel ${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$ des fonctions continues de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$, le vecteur nul est la fonction nulle.
• Dans l'espace vectoriel ${\displaystyle K[X]}$ des polynômes à coefficients dans un corps commutatif ${\displaystyle K}$, le vecteur nul est le polynôme nul.
• Lorsque les vecteurs sont définis à partir de bipoints équipollents, le vecteur nul est représenté par la classe des couples (A,A) formés d'un seul point A.
• L'unique K-espace vectoriel à ne contenir que le vecteur nul est par définition l'espace nul. Pour tout espace vectoriel E, il existe une unique injection de l'espace nul ${\displaystyle \{0\}}$ vers E, qui envoie 0 sur ${\displaystyle 0_{E}}$. La dimension de l'espace nul est 0.

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