Vecteur directeur

En mathématiques, on appelle vecteur directeur d'une droite ${\displaystyle (D)}$ tout vecteur ${\displaystyle {\vec {U}}}$, non nul, qui possède la même direction que la droite ${\displaystyle (D)}$ .

exemple de vecteur

Pour une droite donnée, il existe une infinité de vecteurs directeurs, tous colinéaires entre eux.

Propriétés

Propriété : Deux vecteurs directeurs d'une même droite sont colinéaires.

Théorème — Soit une droite ${\displaystyle (D)}$ du plan repéré par le repère ${\displaystyle (O;{\vec {i}};{\vec {j}})}$.
Si une équation de ${\displaystyle (D)}$ est ${\displaystyle ax+by+c=0}$, alors les deux vecteurs de coordonnées respectives ${\displaystyle (-b;a)}$ et ${\displaystyle (b;-a)}$ sont des vecteurs directeurs de ${\displaystyle (D)}$.

Par exemple, supposons que l'équation d'une droite soit ${\displaystyle 3x-2y+15=0}$, alors ${\displaystyle (2;3)}$ et ${\displaystyle (-2;-3)}$ sont tous les deux des vecteurs directeurs.

Démonstration

Soit un point ${\displaystyle A(x;y)}$ appartenant à ${\displaystyle (D)}$.
On a alors ${\displaystyle ax+by+c=0}$.
Soit le point ${\displaystyle B(x-b;y+a)}$, qui est distinct de A puisque a et b ne sont pas tous les deux nuls ; on peut vérifier qu'il appartient aussi à ${\displaystyle (D)}$ :

${\displaystyle a(x-b)+b(y+a)+c=ax-ba+ba+by+c=0\,}$

Or le vecteur ${\displaystyle {\vec {AB}}\,}$ a pour coordonnées ${\displaystyle (-b;a)\,}$ : c'est donc un vecteur directeur de la droite.

 

Voir aussi

Articles connexes

• Vecteur unité
• Normale à une surface

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Direction », sur MathWorld
• (en) Glossary, Nipissing University
• (en) Finding the vector equation of a line
• (en) Lines in a plane - Orthogonality; Distances, MATH-tutorial
• (en) Coordinate Systems, Points, Lines and Planes

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