Tribu produit

Étant donnés deux espaces mesurables $(\Omega _{1},{\mathcal {T}}_{1})$ et $(\Omega _{2},{\mathcal {T}}_{2})$ , la tribu produit, notée ${\mathcal {T}}_{1}\otimes {\mathcal {T}}_{2}$ , permet de donner une structure d'espace mesurable à l'ensemble produit $\Omega _{1}\times \Omega _{2}$ ; elle est définie de la façon suivante :

${\mathcal {T}}_{1}\otimes {\mathcal {T}}_{2}$ est la tribu engendrée par les pavés mesurables $R=R_{1}\times R_{2}$ où $R_{1}\in {\mathcal {T}}_{1},R_{2}\in {\mathcal {T}}_{2}$ ou, de manière équivalente, la plus petite tribu contenant les pavés mesurables ;
on peut la définir aussi comme la plus petite tribu rendant mesurables les projections $pr_{1}$ et $pr_{2}$ définies par : $pr_{i}(\omega _{1},\omega _{2})=\omega _{i},\ i=1,2$ .

Le lemme de transport permet de montrer qu'une application $f$ , définie sur un espace mesurable $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ à valeurs dans l'espace produit $(E_{1}\times E_{2},{\mathcal {T}}_{1}\otimes {\mathcal {T}}_{2})$ , est mesurable pour la tribu produit si et seulement si les applications coordonnées $f_{i}$ sont, chacune, mesurables pour les tribus ${\mathcal {T}}_{i}$ .

Le lemme de transport permet de montrer que les applications y↦(x,y) (pour x fixé) et x↦(x,y) (pour y fixé) sont aussi mesurables.

Étant donnés deux espaces topologiques $(\Omega _{1},{\mathcal {O}}_{1})$ et $(\Omega _{2},{\mathcal {O}}_{2})$ munies de leurs tribus boréliennes respectives ${\mathcal {B}}_{1}$ et ${\mathcal {B}}_{2}$ . Il y a alors deux façons naturelles de donner au produit $\Omega _{1}\times \Omega _{2}$ une structure d'espace mesurable :

à partir de la tribu produit ${\mathcal {B}}_{1}\otimes {\mathcal {B}}_{2}$
à partir de la tribu borélienne engendrée par la topologie produit ${\mathcal {O}}_{1}\times {\mathcal {O}}_{2}$ , notée ${\mathcal {B}}({\mathcal {O}}_{1}\times {\mathcal {O}}_{2})$ .

On a toujours : ${\mathcal {B}}_{1}\otimes {\mathcal {B}}_{2}\subset {\mathcal {B}}({\mathcal {O}}_{1}\times {\mathcal {O}}_{2})$ .

En effet, les projections $pr_{i}$ sont continues pour la topologie produit, donc mesurables pour la tribu borélienne ; la tribu produit étant la plus petite tribu rendant mesurables les projections on obtient l'inclusion désirée.

Si les espaces topologiques $(\Omega _{i},{\mathcal {O}}_{i})$ sont à base dénombrable alors ${\mathcal {B}}_{1}\otimes {\mathcal {B}}_{2}={\mathcal {B}}({\mathcal {O}}_{1}\times {\mathcal {O}}_{2})$ .

En effet, soit $U$ un ouvert de ${\mathcal {O}}_{1}\times {\mathcal {O}}_{2}$ , alors $U$ est une union dénombrable de pavés mesurables de la forme $U_{1}\times U_{2}$ (car ils forment une base dénombrable de la topologie produit) : par conséquent $U\in {\mathcal {B}}_{1}\otimes {\mathcal {B}}_{2},$ d'où ${\mathcal {B}}({\mathcal {O}}_{1}\times {\mathcal {O}}_{2})\subset {\mathcal {B}}_{1}\otimes {\mathcal {B}}_{2}$ .

Un contre-exemple possible est $\Omega _{1}=\Omega _{2}={\mathcal {B}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ l'ensemble des fonctions réelles bornées.

Le produit d'un nombre fini, disons $n$ , de tribus se définit de façon similaire : il s'agit de la plus petite tribu contenant les pavés mesurables $R_{1}\times \ldots \times R_{n}$ . Les propriétés énoncées pour le produit de deux tribus s'étendent sans difficulté au cas de $n$ tribus.

Si on considère maintenant un produit dénombrable d'espaces mesurés $(\Omega _{n},{\mathcal {T}}_{n})$ , la tribu produit $\otimes _{n\in \mathbb {N} }{\mathcal {T}}_{n}$ , définie sur l'ensemble produit $\prod _{n\in \mathbb {N} }\Omega _{n}$ , est la tribu engendrée par les ensembles de la forme $\prod _{n\in \mathbb {N} }R_{n}$ où $R_{n}\in {\mathcal {T}}_{n}$ et où $R_{n}=\Omega _{n}$ sauf pour un nombre fini d'indices $n$ .