Théorème de la base de Hilbert

En théorie des anneaux, le théorème de la base de Hilbert affirme que si A est un anneau noethérien, alors l'anneau des polynômes en un nombre fini d'indéterminées A [X₁, … , X_n] l'est aussi.

Démonstration^[1]

Soit J un idéal quelconque de A[X] ; l'objectif est de montrer que J est de type fini, ce qui prouvera que A[X] est noethérien.

Soit (D_n) la suite d'idéaux de A définie par :

${\displaystyle D_{n}=\{a\in A~|~\exists (a_{0},\ldots ,a_{n-1})\in A^{n}{\text{ tel que }}aX^{n}+\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}X^{i}\in J\}.}$

Cette suite (D_n) est croissante (car ${\displaystyle P\in J\Rightarrow XP\in J}$) donc constante à partir d'un rang r (car A est noethérien). La réunion de tous les D_n est donc égale à D_r.

Pour chaque entier n, l'idéal D_n est de type fini (car A est noethérien) donc possède une famille génératrice finie (a_n,i) (le second indice, i, parcourt un ensemble fini I_n). Pour chacun de ces a_n,i, soit P_n,i un polynôme de J de degré n et de coefficient dominant égal à a_n,i.

Montrons que la famille finie (P_n,i), doublement indexée par n inférieur ou égal à r et par i dans I_n, engendre J. Cette assertion signifie que tout polynôme Q de J s'exprime comme combinaison linéaire à coefficients dans A[X] de cette famille (P_n,i).

Si Q est nul, c'est immédiat. Sinon, on se ramène à ce cas par récurrence sur le degré d de Q : supposons que la famille engendre tous les polynômes de J de degré strictement inférieur à l'entier naturel d (pour d=0 c'est acquis, le seul polynôme de degré < 0 étant le polynôme nul). Soient q le coefficient dominant de Q et s=min(r,d). Alors q appartient à D_d=D_s. Il existe en conséquence une famille (μ_i) d'éléments de A telle que

${\displaystyle q=\sum _{i\in I_{s}}\mu _{i}a_{s,i}\quad {\text{donc}}\quad \deg \;{\Big (}Q-\sum _{i\in I_{s}}\mu _{i}X^{d-s}P_{s,i}{\Big )}<d.}$

L'hypothèse de récurrence montre que Q est engendré par la famille (P_n,i), ce qui termine la démonstration.