Théorème de Steiner-Lehmus

En mathématiques, le théorème de Steiner-Lehmus est un résultat de géométrie du triangle^[1].

Théorème de Steiner-Lehmus — Soit un triangle ABC. Soient D et E les pieds des bissectrices issues de B et A. On a alors AE = BD si et seulement si ABC est isocèle.

${\displaystyle AE=BD,~}$${\displaystyle \alpha =\beta ,\,\gamma =\delta }$ ${\displaystyle \Rightarrow ABC~\mathrm {est~isoc{\grave {e}}le} }$

La réciproque de l'équivalence est évidente : si ABC est isocèle en C, les triangles ABD et ABE ont un côté en commun, ainsi que les angles adjacents à ce côté. Alors les deux autres côtés se correspondent et AE = BD. La partie directe du théorème est plus difficile et a donné lieu à de nombreuses démonstrations^[2], mais semble-t-il aucune preuve « directe », ne faisant appel qu'à la géométrie euclidienne classique.

Liens externes et bibliographie

• (en) Mowaffaq Hajja, « A short trigonometric proof of the Steiner-Lehmus theorem », Forum Geometricorum, vol. 8,‎ 2008, p. 39-42 (lire en ligne).
• (en) Róbert Oláh-Gál et József Sándor, « On trigonometric proofs of the Steiner-Lehmus theorem », Forum Geometricorum, vol. 9,‎ 2009, p. 155-160 (lire en ligne).
• H. S. M. Coxeter et A. L. Greitzer, Redécouvrons la géométrie, Jacques Gabay, 1997 (ISBN 2-87647-134-5), p. 15-18