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Il se démontre[1] à l'aide de l'axiome du choix (auquel il est en fait équivalent) et s'énonce ainsi:
Théorème—Soient et deux familles de cardinaux indexées par un même ensemble telles que pour tout élément de , . On a alors:
.
Démonstration
Soit de tels , et .
Posons la réunion puis le produit cartésien . On cherche à établir l'inégalité .
D'une part, on introduit la fonction de dans définie par
Cette fonction est clairement injective de dans . Donc, une première inégalité vient: .
Cherchons d'autre part à raffiner l'inégalité. Soit une suite (quelconque) de parties de satisfaisant . Amenons pour tout dans une projection de dans , dont l'image est ainsi un sous-ensemble propre de . L'axiome du choix assure en ces conditions l'existence d'une suite de choix dans le produit telle que . Une telle suite n'appartient à aucun , pour dans , ce qui montre que . On peut conclure sur la négation ainsi donnée de l'égalité . C.Q.F.D.
Corollaire—La puissance du continu n'est pas la somme d'une famille dénombrable de cardinaux strictement plus petits.
Dans le système ZFC (de Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix), ce théorème est le résultat le plus fin concernant la taille du continu (voir également le théorème d'Easton).
On pourra consulter La théorie des ensembles: Introduction à une théorie de l'infini et des grands cardinaux de Patrick Dehornoy, édition Calvage et Mounet, au chapitre V point 2.2.5. La démonstration qui suit est directement empruntée à celle présentée dans cet ouvrage.