Théorème de Hurwitz (approximation diophantienne)

En théorie des nombres, le théorème de Hurwitz sur les approximations diophantiennes, établi en 1891 par Adolf Hurwitz^[1], énonce que pour tout nombre irrationnel ${\displaystyle x}$, il existe une infinité de rationnels ${\displaystyle h/k}$ tels que

${\displaystyle \left|x-{\frac {h}{k}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\,k^{2}}}}$.

Précisions

• L'hypothèse d'irrationalité de ${\displaystyle x}$ est indispensable, puisque la mesure d'irrationalité d'un rationnel est égale à 1.
• L'ensemble des couples ${\displaystyle (h,k)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {N} ^{*}}$ vérifiant l'inégalité est infini si et seulement si le sous-ensemble de ceux pour lesquels ${\displaystyle h}$ et ${\displaystyle k}$ sont premiers entre eux l'est.
• Les rationnels ${\displaystyle h/k}$ qui vérifient l'inégalité font partie des réduites de l'irrationnel ${\displaystyle x}$ (ce résultat est établi dans l'article Fraction continue et approximation diophantienne).
• La constante √5 est optimale : pour ${\displaystyle x}$ égal par exemple au nombre d'or, si l'on remplace, dans la formule ci-dessus, √5 par n'importe quel nombre strictement plus grand, l'inégalité (même large) n'est vérifiée que par un ensemble fini de rationnels ${\displaystyle h/k}$. En ce sens, le nombre d'or est — de même que tout nombre qui lui est équivalent — « l' »irrationnel qui s'approche le plus mal par des fractions. C'est pourquoi l'on parle parfois de lui comme du plus irrationnel de tous les irrationnels^[2].

Démonstration

• Optimalité de la constante √5.

Prenons ${\displaystyle c={\frac {\sqrt {5}}{\alpha }}}$ avec ${\displaystyle 0<\alpha <1}$ et ${\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$. Si ${\displaystyle \theta ={\sqrt {5}}k^{2}\left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}-{\frac {h}{k}}\right)}$, alors, on souhaite avoir ${\displaystyle |\theta |\leq \alpha }$. En arrangeant les termes et en élevant au carré, on trouve${\displaystyle h^{2}-hk-k^{2}={\frac {\theta ^{2}}{5k^{2}}}-\theta \,}$.Si l'on considère ${\displaystyle P(h)=h^{2}-hk-k^{2}}$ comme un polynôme en ${\displaystyle h}$, on a ${\displaystyle P(h)=0\Leftrightarrow h={\frac {(1\pm {\sqrt {5}})k}{2}}}$, mais, comme ${\displaystyle h}$ et ${\displaystyle k}$ sont entiers, ce n'est pas possible. Idem pour ${\displaystyle P(k)}$. Donc ${\displaystyle |h^{2}-hk-k^{2}|\geq 1}$.${\displaystyle 1\leq \left|{\frac {\theta ^{2}}{5k^{2}}}-\theta ~\right|\leq |\theta |+{\frac {|\theta |^{2}}{5k^{2}}}\leq \alpha +{\frac {\alpha ^{2}}{5k^{2}}}}$,soit encore ${\displaystyle k^{2}<{\frac {\alpha ^{2}}{5(1-\alpha )}}}$, ce qui donne un nombre fini de solutions pour ${\displaystyle k}$. Comme ${\displaystyle h}$ doit vérifier l'inégalité citée dans l'énoncé du théorème, cela donne un nombre fini de nombres rationnels solutions.

• Démonstration du théorème proprement dit.

Considérons une suite de Farey d'ordre N, avec ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ et ${\displaystyle {\frac {a'}{b'}}}$ deux termes consécutifs tels que ${\displaystyle {\frac {a}{b}}<x<{\frac {a'}{b'}}}$. On peut vérifier que :

• • soit ${\displaystyle b'>{\frac {b{\sqrt {5}}+1}{2}}}$
  • soit ${\displaystyle b'<{\frac {b{\sqrt {5}}-1}{2}}}$

Si ${\displaystyle \omega ={\frac {b'}{b}}}$, on a ${\displaystyle \omega >{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}$ ou ${\displaystyle \omega <{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}$. On peut montrer que ${\displaystyle 1+\omega ^{-2}>{\sqrt {5}}\omega ^{-1}}$, d'où

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{b'^{2}}}\right)>{\frac {1}{\omega b^{2}}}}$.

Mais d'un autre côté, ${\displaystyle {\frac {a'}{b'}}-{\frac {a}{b}}<{\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{b'^{2}}}\right)}$, ce qui termine l'ébauche de démonstration^[3].

Une autre approche consiste à montrer^[4] que dans le développement en fraction continue d'un irrationnel, sur trois réduites consécutives, il en existe une qui vérifie l'inégalité annoncée.

Généralisations

Pour les irrationnels équivalents au nombre d'or, appelés irrationnels nobles, et pour eux seuls, la constante ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ ne peut être améliorée. Si on les exclut, on a un théorème analogue avec la constante ${\displaystyle {\sqrt {8}}}$, qui est optimale pour les nombres équivalents à ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$. Si on les exclut à leur tour, une nouvelle constante apparait (valant ${\displaystyle {\sqrt {221}}/5}$) ; la suite de ces constantes, appelées « nombres de Lagrange », est la partie initiale du « spectre de Lagrange ».

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hurwitz's theorem (number theory) » (voir la liste des auteurs).

1. (de) Adolf Hurwitz, « Ueber die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durch rationale Brüche », Mathematische Annalen, vol. 39, n^o 2,‎ 1891, p. 279-284 (lire en ligne).
2. (en) The most irrational number, billet de Tony Phillips (université Stony Brook) sur le site de l'AMS.
3. (en) William J. LeVeque, Topics in Number Theory, Addison-Wesley, 1956 (lire en ligne).
4. (en) G. H. Hardy et E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers (1^re éd. 1938) [détail des éditions], théorème 195, p. 210-211 de l'édition de 2008, aperçu sur Google Livres.

Voir aussi

Articles connexes

• Nombres équivalents
• Théorème d'approximation de Dirichlet
• Théorème de Liouville (approximation diophantienne)

Liens externes

• Démonstration du théorème de Hurwitz, à partir des propriétés des suites de Farey, sur le site mathwebs.com
• (en) Bernd Otto Stratmann, « Elementary Diophantine Approximation », sur Université de Brême

• Arithmétique et théorie des nombres