Théorème de Borel-Lebesgue

En topologie de ℝⁿ, le théorème de Borel-Lebesgue ou de Heine-Borel établit l'équivalence entre les deux propriétés suivantes^[1] d'un ensemble A de vecteurs :

• A est fermé et borné (A est borné s'il existe un réel positif majorant la norme de tous les éléments de A) ;
• A est compact, c'est-à-dire^[2] qu'il vérifie la propriété de Borel-Lebesgue : de tout recouvrement de A par des ouverts de ℝⁿ on peut extraire un sous-recouvrement fini.

L'essentiel du théorème est :

tout fermé borné de ℝⁿ est compact

car la réciproque est immédiate^[3].

Ce théorème se généralise à tout ℝ-espace vectoriel normé de dimension finie mais n'est pas valable en dimension infinie.

Démonstration

• Le segment [a, b] est compact
  Soit (U_i) un recouvrement ouvert du segment [a, b]. On considère l'ensemble F des points x de [a, b] tels que [a, x] est recouvert par un nombre fini d'ouverts U_i. Comme F est non vide (il contient a) et inclus dans [a, b], il admet une borne supérieure m ∈ [a, b]. Cette borne m appartient à un U_i. Il existe alors ε > 0 tel que le segment V = [m – ε, m + ε]∩[a, b] = [c, d] soit inclus dans U_i. Puisque m est adhérent à F, V rencontre F, en un point x. En ajoutant U_i au recouvrement fini de [a, x], on obtient un recouvrement fini de [a, d], donc d ∈ F, donc m ≥ d = min(m + ε, b), donc b = d ∈ F.
• Un produit fini de segments est compact^[4].
  Ce résultat se déduit du lemme du tube, d'après lequel tout produit fini de compacts est compact^[5].
• Tout fermé borné de ℝⁿ est compact.
  En effet, c'est un fermé d'un produit de segments donc d'un compact, or tout fermé d'un compact est compact.

Contre-exemple en dimension infinie

Considérons l'espace vectoriel ℝ[X] des polynômes à coefficients réels. On prend pour norme d'un polynôme le maximum des valeurs absolues respectives de ses coefficients. Soit B la boule unité fermée. Elle est clairement fermée et bornée. Cependant, les éléments Xⁿ de B sont à distance 1 les uns des autres donc forment une suite sans sous-suite convergente donc ici sans valeur d'adhérence, ce qui empêche B d'être compacte.

Bibliographie

• (en) N. R. Andre, S. M. Engdahl, A. E. Parker, « An Analysis of the First Proofs of the Heine-Borel Theorem », sur www.maa.org, août 2013 (consulté le 9 juillet 2021)

Notes

1. À la suite de ce théorème, beaucoup d'auteurs préfèrent définir les compacts de ℝⁿ comme les ensembles fermés et bornés de vecteurs. Dans ce cas le théorème se lit : un sous-ensemble de ℝⁿ est compact si et seulement s'il a la propriété de Borel-Lebesgue. Une autre approche est de définir les compacts, dans ℝⁿ, comme les parties séquentiellement compactes : le fait que ces parties sont exactement les fermés bornés est élémentaire.
2. Plus précisément : A est dit quasi-compact s'il vérifie la propriété de Borel-Lebesgue, et compact s'il est de plus séparé, mais dans ℝⁿ qui est séparé, ces deux notions sont équivalentes.
3. Dans un espace séparé, tout compact est fermé et dans un espace métrique, il est de plus borné car précompact.
4. Une démonstration de cette propriété et de ses conséquences pour la topologie de ℝⁿ dans S. Lang, Analyse réelle, Paris, InterÉditions, 1977 (ISBN 978-2-72960059-4), p. 33.
5. Le théorème de Tychonov, bien plus difficile, montre qu'un produit quelconque de compacts est compact.

Articles connexes

• Lemme de Cousin
• Espace de Montel

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