Loading AI tools
théorème permettant, sous certains conditions, l'approximation uniforme d'une fonction continue par des fonctions polynomiales à coefficients entiers De Wikipédia, l'encyclopédie libre
Le théorème de Chudnovsky, démontré par les frères Chudnovsky, est un théorème qui montre sous certaines conditions qu'une fonction continue est la limite uniforme de fonctions polynomiales à coefficients entiers. C'est un raffinement du théorème de Stone-Weierstrass.
Soit une fonction continue définie sur un segment ne contenant pas d'entiers. Alors il existe une suite de polynômes à coefficients entiers convergeant uniformément vers sur .
Ramenons-nous au cas où . La première étape de la preuve consiste à montrer modestement que la fonction constante est limite uniforme de polynômes à coefficients entiers. On peut même expliciter cette suite de polynômes par :
Dans un deuxième temps, on élargit ce résultat à toutes les fonctions constantes : en effet, les applications continues de dans muni de la norme uniforme forment une algèbre sur que l'on note . L'ensemble des limites uniformes de polynômes à coefficients entiers est un fermé contenant toutes les fonctions constantes vers un nombre dyadique.
Mais les nombres dyadiques sont denses dans , donc contient toutes les fonctions constantes. Mais c'est aussi une algèbre qui contient et , elle contient donc , et par fermeture . Or le théorème de Stone-Weierstrass nous assure que .
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.