Théorème d'Erdős-Szemerédi

En combinatoire arithmétique, le théorème d'Erdős-Szemerédi^[1] assure qu'il existe des constantes strictement positives c et ε telles que pour tout ensemble fini A de réels,

${\displaystyle \max(|A+A|,|A\cdot A|)\geq c|A|^{1+\varepsilon }}$

où | | désigne le cardinal, ${\displaystyle A+A=\{a+b~|~a,b\in A\}}$ la somme d'ensembles de A avec lui-même et ${\displaystyle A\cdot A=\{a\cdot b~|~a,b\in A\}.}$

Il peut arriver que A soit de taille comparable à A + A (si A est en progression arithmétique) ou à A ∙ A (si A est en progression géométrique). Le théorème de Erdős-Szemerédi peut donc s'interpréter informellement en disant qu'un « gros » ensemble ne peut « se comporter » simultanément comme une progression arithmétique et une progression géométrique ; on peut aussi dire que la droite réelle ne contient pas d'ensemble qui « ressemble à » un sous-anneau fini. C'est le premier exemple de ce qu'on appelle maintenant le « phénomène somme-produit », dont on sait qu'il a lieu pour beaucoup d'anneaux et de corps, y compris des corps finis^[2].

Erdős et Szemerédi ont conjecturé qu'ε peut être choisi arbitrairement proche de 1. En 2009, le meilleur résultat dans cette direction est celui de Solymosi^[3] : ε peut être choisi arbitrairement proche de 1/3.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Erdős–Szemerédi theorem » (voir la liste des auteurs).

1. (en) P. Erdős et E. Szemerédi, « On sums and products of integers », dans P. Erdős, L. Alpár, G. Halász et A. Sárközy, Studies in Pure Mathematics : To the Memory of Paul Turán, Birkhäuser, 1983 (lire en ligne), p. 213-218
2. (en) Terence Tao, « The sum-product phenomenon in arbitrary rings », Discrete Math., vol. 4, n^o 2,‎ 2009, p. 59-82, arXiv:0806.2497
3. (en) Jozsef Solymosi, « Bounding multiplicative energy by the sumset », Advan. Math., vol. 222, n^o 2,‎ 2009, p. 402-408, preprint arXiv:0806.1040

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