Théorème binomial d'Abel

En mathématiques, et plus précisément en algèbre, le théorème binomial d'Abel, dû à Niels Henrik Abel, est l'identité polynomiale suivante^[1],[2],[3], valide pour tout entier naturel ${\displaystyle n}$ :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(x-kz)^{k-1}(y+kz)^{n-k}={\frac {(x+y)^{n}}{x}}}$.

Quand on l'évalue en ${\displaystyle z=0}$, on retrouve la formule du binôme de Newton, et pour ${\displaystyle x=-y}$, on retrouve que la différence finie ${\displaystyle \Delta _{z}^{n}[y^{n-1}]}$ est nulle^[1].

Variantes

• La variante

  ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(x+k)^{k-1}(y-k)^{n-k}={\frac {(x+y)^{n}}{x}}}$

  est le cas particulier ${\displaystyle z=-1}$ du théorème.

  Réciproquement, quand on remplace ${\displaystyle x}$ par ${\displaystyle -{\frac {x}{z}}}$ et ${\displaystyle y}$ par ${\displaystyle -{\frac {y}{z}}}$, on retrouve le cas général.

• En remplaçant ${\displaystyle y}$ par ${\displaystyle y+n}$, on déduit de cette première variante^[4] :

  ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(x+k)^{k-1}(y+n-k)^{n-k}={\frac {(x+y+n)^{n}}{x}}}$.

  Réciproquement, la première variante se déduit de la deuxième en remplaçant ${\displaystyle y}$ par ${\displaystyle y-n}$.

  On peut de même remplacer ${\displaystyle y}$ par ${\displaystyle y-nz}$ dans le théorème.

• On peut bien sûr remplacer ${\displaystyle z}$ par ${\displaystyle -z}$ dans le théorème. Ceci, précédé d'un remplacement de ${\displaystyle y}$ par ${\displaystyle y-nz}$, donne comme théorème équivalent^[5] :

  ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(x+kz)^{k-1}\left(y+(n-k)z\right)^{n-k}={\frac {(x+y+nz)^{n}}{x}}}$.

• En effectuant le changement d'indice ${\displaystyle j=n-k}$ dans le théorème et ses variantes, on en trouve de nouvelles. Par exemple, la deuxième variante ci-dessus devient^[6] :

  ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(x+n-k)^{n-k-1}(y+k)^{k}={\frac {(x+y+n)^{n}}{x}}}$.

• Il est également possible de déduire la variante suivante^[7] :

  ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(x+k)^{k-1}(n-k+y)^{n-k-1}={\frac {x+y}{xy}}(x+y+n)^{n-1}}$.

Exemple

Vérifions la première variante dans le cas ${\displaystyle n=2}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}\quad {\binom {2}{0}}x^{-1}y^{2}+{\binom {2}{1}}(x+1)^{0}(y-1)^{1}+{\binom {2}{2}}(x+2)^{1}(y-2)^{0}&={\frac {y^{2}}{x}}+2(y-1)+x+2\\&={\frac {y^{2}}{x}}+2y+x\\&={\frac {(x+y)^{2}}{x}}.\end{aligned}}}$

Démonstration

Considérons les polynômes (à coefficients dans ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$)

${\displaystyle P_{n}(Y):=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}X(X+k)^{k-1}(Y-k)^{n-k}\quad {\text{et}}\quad Q_{n}(Y):=(X+Y)^{n}}$

et démontrons, par récurrence sur ${\displaystyle n}$, que ${\displaystyle P_{n}=Q_{n}}$ pour tout ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

• On a bien ${\displaystyle P_{0}=1=Q_{0}}$.
• Supposons que pour un certain ${\displaystyle n>0}$, ${\displaystyle P_{n-1}=Q_{n-1}}$. Alors, les polynômes dérivés de ${\displaystyle P_{n}}$ et ${\displaystyle Q_{n}}$ sont égaux car${\displaystyle P'_{n}=nP_{n-1}=nQ_{n-1}=Q'_{n}}$.Par ailleurs, ${\displaystyle P_{n}(-X)=X\Delta _{1}^{n}[X^{n-1}]=0=Q_{n}(-X)}$. Par conséquent, ${\displaystyle P_{n}=Q_{n}.\quad \Box }$

Références

1. (de) N. H. Abel, « Beweis eines Ausdruckes, von welchem die Binomial-Formel ein einzelner Fall ist », J. reine angew. Math, vol. 1,‎ 1826, p. 159-160 (lire en ligne).
2. (en) Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, vol. 1 : Fundamental Algorithms (lire en ligne), chap. 1.2.6 (« Binomial coefficients ») équation (16) et exercices 50 à 52.
3. Louis Comtet, Analyse combinatoire avancée (lire en ligne), p. 14.
4. « Une identité d'Abel », sur les-mathematiques.net.
5. (en) Charalambos A. Charalambides, Enumerative Combinatorics, CRC Press, 2002 (lire en ligne), p. 207.
6. (en) Eric W. Weisstein, « Abel's binomial theorem », sur MathWorld, aux notations près.
7. (en) E. Bellin, « Degrees in random uniform minimal factorizations », sur arXiv, 2020, corollaire 12.

Voir aussi

Article connexe

Suite de Sheffer

Bibliographie

• (en) Henry W. Gould (en), Combinatorial Identities, A Standardized Set of Tables Listing 500 Binomial Coefficient Summations, 1972 (lire en ligne), p. 15, (1.117), (1.118) et (1.119)
• (en) Henry W. Gould et J. Quaintance (ed.), Tables of Combinatorial Identities, vol. 4, 2010 (lire en ligne), p. 18
• (en) He Tianxiao, Leetsch C. Hsu et Peter J. S. Shiue, « On Abel-Gontscharoff-Gould's polynomials », Analysis in Theory and Applications, vol. 19, n^o 2,‎ 2003, p. 166-184 (DOI 10.1007/BF02835242, lire en ligne)

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