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Le septième problème de Hilbert concerne l'irrationalité et la transcendance de certains nombres. Il pose deux questions, dont la première est énoncée géométriquement mais peut se reformuler comme le cas particulier a = –1 de la seconde[1] :
- Dans un triangle isocèle, si le rapport de l'angle de la base à l'angle du sommet est algébrique mais non rationnel, alors le rapport entre la base et le côté est-il toujours transcendant ?
- ab est-il transcendant, pour a un nombre algébrique différent de 0 et de 1 et b nombre algébrique irrationnel[2] ?
La réponse affirmative fut donnée par Aleksandr Gelfond en 1934, et raffinée par Theodor Schneider en 1935. Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Gelfond ou de Gelfond-Schneider.
Une généralisation en fut conjecturée par Gelfond et démontrée par Alan Baker.
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