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Pour α et β deux réels, on appelle série de Bertrand (du nom de Joseph Bertrand) la série à termes réels positifs suivante :
Théorème de Bertrand — La série de Bertrand associée à α et β converge si et seulement si α > 1 ou (α = 1 et β > 1).
Cette condition nécessaire et suffisante se résume en (α, β) > (1, 1), où l'ordre sur les couples de réels est l'ordre lexicographique (celui adopté pour trier les mots dans un dictionnaire : on tient compte de la première lettre, puis de la deuxième, etc.).
La série de Bertrand a le même comportement que l'intégrale en +∞ de la fonction
(définie et strictement positive sur ]1,+∞[), car f est monotone au-delà d'une certaine valeur. On a donc la même conclusion que pour l'intégrale de Bertrand associée :
On peut de plus remarquer que si α < 0 ou si α = 0 et β ≤ 0, alors f est croissante au-delà d'une certaine valeur donc la divergence est grossière.
Les cas α ≠ 1 se traitent facilement par comparaison avec des séries de Riemann (et croissances comparées).
Si α = β = 1, la série diverge car son terme général est équivalent à celui, , d'une série télescopique divergente. Par comparaison avec ce cas limite, on en déduit que la série diverge si α = 1 et β ≤ 1 (et a fortiori si α < 1).
Si α = 1 et β ≠ 1, on peut procéder de même en remarquant que pour tout γ ≠ 0, , ou utiliser le test de condensation de Cauchy. (On retrouve ensuite, par comparaison, les cas α ≠ 1.)
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