Séparatrice

En mathématiques, une séparatrice est la frontière séparant deux modes de comportement des solutions d'une équation différentielle^[1].

Exemples

Pendule simple

Soit l'équation différentielle décrivant le mouvement d'un pendule simple :

${\displaystyle {d^{2}\theta \over dt^{2}}+{g \over \ell }\sin \theta =0.}$

où ${\displaystyle \ell }$ désigne la longueur du pendule, ${\displaystyle g}$ l'accélération de pesanteur et ${\displaystyle \theta }$ l'angle entre le pendule et et la verticale. Dans ce système, la quantité H donnée par l'équation ci-dessous, appelée hamiltonien, est conservée :

${\displaystyle H={\frac {{\dot {\theta }}^{2}}{2}}-{\frac {g}{\ell }}\cos \theta .}$

Ceci posé, on peut tracer une courbe à H constant dans l'espace des phases du système. L'espace des phases est représenté par un graphique avec ${\displaystyle \theta }$ le long de l'axe horizontal et ${\displaystyle {\dot {\theta }}}$ sur l’axe vertical (schéma à droite). Le type de courbe résultante dépend de la valeur de H .

L'espace des phases pour le pendule simple. La séparatrice (en rouge) sépare les trajectoires oscillantes du pendule (à l'intérieur), de celles qui correspondent à des rotations complètes autour du point d'attache (à l'extérieur).

• Si ${\displaystyle H<-{\frac {g}{\ell }}}$ alors aucune courbe n'existe (car ${\displaystyle {\dot {\theta }}}$ est alors imaginaire).
• Si ${\displaystyle -{\frac {g}{\ell }}<H<{\frac {g}{\ell }}}$ alors la courbe sera une courbe simple fermée, presque circulaire pour H petit, et prend la forme d'un « œil » lorsque H s'approche de la limite supérieure. Ces courbes correspondent au balancement périodique du pendule d’un côté à l’autre.
• Si ${\displaystyle {\frac {g}{\ell }}<H}$ alors la courbe est ouverte, et cela correspond au pendule décrivant un cercle complet autour de son point d'attache.

Dans ce système la séparatrice est la courbe qui correspond à ${\displaystyle H={\frac {g}{\ell }}}$. Elle sépare — d'où son nom — l'espace des phases en deux zones distinctes, chacune avec un type de mouvement différent. La région à l'intérieur de la séparatrice présente toutes les courbes d'espace de phase qui correspondent au pendule oscillant d'avant en arrière, tandis que la région à l'extérieur de la séparatrice présente toutes les courbes d'espace de phase qui correspondent au pendule décrivant des cercles complets autour de son point d'attache.

Notes et références

1. Blanchard, Paul, Differential Equations, 4th ed., 2012, Brooks/Cole, Boston, MA, pg. 469.

Liens externes

• Séparatrice de MathWorld.

• Portail des mathématiques