Représentation d'interaction

La représentation d'interaction ou représentation de Dirac de la mécanique quantique est une manière de traiter les problèmes dépendant du temps.

Condition d'application de la représentation d'interaction

Dans la représentation d'interaction, on applique les hypothèses suivantes :

On considère un hamiltonien ayant la forme suivante :

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}(t)}$

où ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}}$ est constant dans le temps et ${\displaystyle {\hat {V}}(t)}$ décrit une interaction perturbative qui peut dépendre du temps.

• Les états propres sont dépendants du temps
• Les opérateurs sont aussi dépendants du temps
• La dynamique des états est décrite suivant la représentation de Schrödinger tandis que la dynamique des opérateurs est décrite suivant la représentation de Heisenberg.
• La représentation de Dirac ne s'applique efficacement qu'à certains problèmes. L'exemple le plus parlant est celui des perturbations dépendant du temps.

Propagateurs

Afin de reconnaître qu'on travaille dans la représentation d'interaction, les états et les opérateurs seront suivis de l'indice « I » (comme interaction). Le sens de cette représentation tient en ce que la dépendance en temps due à ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}}$ sera prise en compte dans la dépendance explicite des observables en fonction du temps et la dépendance en temps due à ${\displaystyle {\hat {V}}(t)}$ dans le développement de la fonction d'onde. C'est une autre façon de décrire la même physique. Ceci signifie que les grandeurs physiques significatives sont inchangées.

Il y a deux opérateurs d'évolution dans le temps :

• l'opérateur "normal" relatif à l'hamiltonien complet ${\displaystyle {\hat {H}}}$ :

${\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})=e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }}$

• l'opérateur relatif à l'hamiltonien non perturbé ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}}$ :

${\displaystyle {\hat {U}}_{0}(t,t_{0})=e^{-i{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})/\hbar }}$

Définition des hamiltoniens et fonction d'onde d'interaction

L'opérateur dépendant du temps ${\displaystyle {\hat {A}}_{I}(t)}$ s'écrit comme dans la représentation de Heisenberg

${\displaystyle {\hat {A}}_{I}(t)={\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0}){\hat {A}}_{S}(t_{0}){\hat {U}}_{0}(t,t_{0})={\rm {e}}^{\frac {i\,{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})}{\hbar }}{\hat {A}}_{S}(t_{0}){\rm {e}}^{-{\frac {i\,{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})}{\hbar }}}\,.}$

l'état dépendant du temps ${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{I}}$ n'est accessible qu'indirectement, par réduction (dans la représentation de Schrödinger) de l'état de la dynamique complète ${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\rm {S}}}$,afin de définir.

${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{I}={\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})|\psi (t)\rangle _{S}={\rm {e}}^{\frac {i\,{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})}{\hbar }}|\psi (t)\rangle _{S}\,.}$

À partir de là nous définissons aussi l'opérateur dépendant du temps ${\displaystyle H_{I}(t)}$:

${\displaystyle {\hat {H}}_{I}(t)={\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0}){\hat {H}}_{0}{\hat {U}}_{0}(t,t_{0})={\rm {e}}^{\frac {i\,{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})}{\hbar }}{\hat {H}}_{0}{\rm {e}}^{-{\frac {i\,{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})}{\hbar }}}\,={\hat {H}}(t).}$

Équations d'évolution de la fonction d'onde et des observables

L'évolution de la fonction d'état s'écrit dans cette représentation :

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi _{I}(t)\rangle ={\hat {V}}_{I}(t)|\psi _{I}(t)\rangle }$.

Cette équation est connue sous le nom d'équation de Schwinger-Tomonaga. L'évolution de la grandeur physique représentée par l'opérateur ${\displaystyle {\hat {A}}_{I}}$ s'écrit :

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}{\hat {A}}_{I}}{{\rm {d}}t}}={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}}_{0},{\hat {A}}_{\rm {I}}(t)\right]+{\frac {\partial {\hat {A}}_{I}}{\partial t}}}$

Cette évolution est équivalente à celle exprimée dans la représentation de Heisenberg.

Représentation :

	Heisenberg	Interaction	Schrödinger
Ket	constant	${\displaystyle |\Psi (t)\rangle _{I}=U_{0}^{-1}|\Psi (t)\rangle _{S}}$	${\displaystyle |\Psi (t)\rangle _{S}=U|\Psi (t_{0})\rangle _{S}}$
Observable	${\displaystyle A_{H}(t)=U^{-1}A_{S}U}$	${\displaystyle A_{I}(t)=U_{0}^{-1}A_{S}U_{0}}$	constant
Opérateur d'évolution	${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}(t)}$	${\displaystyle U(t,t_{0})=e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t-t_{0})}}$ ${\displaystyle U_{0}(t,t_{0})=e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})}}$
Mécanique quantique : Théorème d'Ehrenfest Équation de Schrödinger Propagateur

Bibliographie

• A. Messiah, Mécanique Quantique (Dunod)
• J. L. Basdevant, Cours de mécanique quantique de l'école Polytechnique (Ellipses)
• J. J. Sakurai et s. F. Tuan, Modern Quantum Mechanics, Benjamin-Cummings 1985, Reading, Addison-Wesley 2003
• (en) F M Toyama, Y Nogami et F A B Coutinho, « Behaviour of wavepackets of the 'Dirac oscillator': Dirac representation versus Foldy - Wouthuysen representation », Journal of Physics A: Mathematical and General, vol. 30, n^o 7,‎ 1997 (DOI 10.1088/0305-4470/30/7/034/meta, lire en ligne, consulté le 30 août 2025)
• (en) H. Matsumoto, Y. Nakano, H. Umezawa, F. Mancini et M. Marinaro, « Thermo Field Dynamics in Interaction Representation », Prog. Theor. Phys., Edmonton et Salerne, Progress Letters, vol. 70, n^o 2,‎ août 1983 (lire en ligne)