Fraction dyadique

En mathématiques, une fraction dyadique ou rationnel dyadique est un nombre rationnel qui peut s'écrire sous forme de fraction avec pour dénominateur une puissance de deux^[1]. On peut noter l'ensemble des nombres dyadiques formellement par

${\displaystyle D=\left\{\left.{\frac {a}{2^{b}}}~\right|~(a,b)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {N} \right\}.}$

Fractions rationnelles dyadiques dans l'intervalle de 0 à 1

Par exemple, 1/2 ou 3/8 sont des fractions dyadiques, mais pas 1/3.

De même que les nombres décimaux sont les nombres qui ont un développement décimal fini^[2], les fractions dyadiques sont les nombres qui ont un développement binaire fini.

Le pouce est habituellement divisé de manière dyadique plutôt qu'en fractions décimales ; de manière similaire, les divisions habituelles du gallon en demi-gallons, quarts et pintes sont dyadiques. Les anciens égyptiens utilisaient aussi les fractions dyadiques dans les mesures, avec le numérateur 1 et des dénominateurs allant jusqu'à 64.

L'ensemble de toutes les fractions dyadiques est dense dans l'ensemble des nombres réels ; un nombre réel quelconque x est limite de la suite de rationnels dyadiques ⌊2ⁿx⌋/2ⁿ.

Comparé aux autres sous-ensembles denses de la droite réelle, tels que les nombres rationnels, c'est un ensemble plutôt « petit » en un certain sens, c'est pourquoi il apparaît quelquefois dans les démonstrations de topologie comme le lemme d'Urysohn.

La somme, la différence ou le produit de deux fractions dyadiques quelconques est elle-même une fraction dyadique :

${\displaystyle {\frac {a}{2^{b}}}+{\frac {c}{2^{d}}}={\frac {2^{d}a+2^{b}c}{2^{b+d}}}}$

${\displaystyle {\frac {a}{2^{b}}}-{\frac {c}{2^{d}}}={\frac {2^{d}a-2^{b}c}{2^{b+d}}}}$

${\displaystyle {\frac {a}{2^{b}}}\times {\frac {c}{2^{d}}}={\frac {a\times c}{2^{b+d}}}.}$

Par contre, le quotient d'une fraction dyadique par une autre n'est pas, en général, une fraction dyadique. Ainsi, les fractions dyadiques forment un sous-anneau du corps ℚ des nombres rationnels. Ce sous-anneau est le localisé de l'anneau ℤ des entiers par rapport à l'ensemble des puissances de deux.

Les nombres surréels sont générés par un principe de construction itérative qui commence en générant toutes les fractions dyadiques finies, puis conduit à la création de nouvelles et étranges sortes de nombres infinis, infinitésimaux et autres.

Solénoïde dyadique

En tant que groupe abélien additif, l'ensemble des rationnels dyadiques est la limite inductive des sous-groupes monogènes infinis

${\displaystyle 2^{-n}\mathbb {Z} }$

pour n = 0, 1, 2, ... . Dans l'esprit de la dualité de Pontriaguine, il existe un objet dual, nommément la limite projective du groupe du cercle unité sous l'application carrée répétée

${\displaystyle \zeta \rightarrow \zeta ^{2}.}$

Le groupe topologique résultant D est appelé le solénoïde dyadique.

Un élément du solénoïde dyadique peut être représenté comme une suite infinie de nombres complexes :

${\displaystyle q_{0},q_{1},q_{2},\ldots \,}$, avec la propriété que chaque q_i se place sur le cercle unité et que, pour tous les i > 0,

${\displaystyle q_{i}^{2}=q_{i-1}.}$

L'opération de groupe sur ces éléments multiplie deux suites quelconques convenablement.

En tant qu'espace topologique, c'est un continu indécomposable.

Voir aussi

• Nombre p-adique
• Anneau local

Notes et références

1. Claire David, « Nombres dyadiques » [PDF], sur hal.science, 25 février 2013 (consulté le 24 février 2023)
2. « Nombre décimal : Définition simple et facile du dictionnaire », sur www.linternaute.fr (consulté le 16 juin 2022)

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Dyadic rational » (voir la liste des auteurs).

• Arithmétique et théorie des nombres