Pseudo-anneau de carré nul

Un pseudo-anneau de carré nul est un pseudo-anneau sur lequel la multiplication est nulle^[1].

Le seul pseudo-anneau de carré nul unitaire est l'anneau nul, l'anneau à un seul élément.

Tout groupe abélien peut être muni d'une façon et d'une seule d'une structure de pseudo-anneau de carré nul, la multiplication nulle vérifiant systématiquement les conditions d'associativité et de distributivité requises d'un pseudo-anneau. Ses idéaux en tant que pseudo-anneau sont ses sous-groupes additifs. Il en découle que les seuls pseudo-anneaux A de carré nul sans idéal autres que {0} et A lui-même sont les groupes abéliens sans sous-groupes non triviaux, c'est-à-dire les groupes cycliques de cardinal premier^[2]. Cette propriété permet de montrer la caractérisation suivante des idéaux maximaux d'un pseudo-anneau :

Un idéal I d'un pseudo-anneau commutatif A est maximal si et seulement si l'anneau quotient de A par I est soit un corps, soit un pseudo-anneau de carré nul sur un groupe additif cyclique de cardinal premier^[3].

Références

1. Nicolas Bourbaki, Algèbre, Hermann, 1970, p. I.97.
2. Oscar Zariski et Pierre Samuel, Commutative Algebra, t. 1, Van Nostrand, 1958, p. 133.
3. László Rédei, Algebra, Pergamon Press, 1967, vol. 1, p. 205-206 (où on lira un énoncé un peu plus technique ne supposant pas la commutativité).

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