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En mathématique, le produit tensoriel de deux algèbres est une nouvelle algèbre.
Soit un anneau commutatif. Soient deux -algèbres (non nécessairement commutatives). Leur structure de -algèbres est donnée par deux morphismes
On peut les considérer comme des -modules et construire le produit tensoriel . Lorsque et commutent à , c'est-à-dire lorsque pour tout , on a et , on montre qu'il existe une loi de composition interne sur ce produit tensoriel uniquement déterminée par la règle
pour tous et . La structure de -module plus cette loi de composition interne fait de une -algèbre.
Il existe des homomorphismes de -algèbres canoniques , définis respectivement par et .
Ce produit tensoriel possède de plus une structure de -algèbre à gauche lorsque est commutatif, et une structure de -algèbre à droite lorsque est commutatif.
Exemples:
Lorsque et sont commutatifs, le produit tensoriel est leur somme catégorielle dans la catégorie des -algèbres commutatives:
En géométrie algébrique, cette propriété universelle permet de définir le produit fibré de deux schémas affines au-dessus d'un même schéma affine.
(en) Serge Lang, Algebra, Springer, third edition 2002, XVI, §6.
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