Polynôme d'Hermite

En mathématiques, les polynômes d'Hermite sont une suite de polynômes qui a été nommée ainsi en l'honneur de Charles Hermite^[1] (bien qu'ils aient été définis, sous une autre forme, en premier par Pierre-Simon Laplace en 1810^[2],[3], et par Joseph-Louis Lagrange lors de ses travaux sur les probabilités, et apparaissent aussi en 1859 dans un article de Pafnouti Tchebychev^[4], cinq ans avant Hermite). Ils sont parfois décrits comme des polynômes osculateurs.

Ces polynômes apparaissent dans de nombreux champs d'application :

• traitement du signal dans les ondelettes hermitiennes (en) en analyse par transformée en ondelettes ;
• probabilité, comme dans les séries d'Edgeworth, ou dans l'étude du mouvement brownien ;
• combinatoire, comme exemple de suite d'Appell, suivant le calcul ombral ;
• analyse numérique dans les méthodes de quadrature de Gauss ;
• physique, où ils apparaissent dans l'écriture des états propres de l'oscillateur harmonique quantique, ou dans certains cas de l'équation de la chaleur ;
• théorie des systèmes en connexion avec des opérations non-linéaires sur un bruit gaussien ;
• étude des matrices aléatoires dans des ensembles gaussiens.

Définition

Les polynômes d'Hermite sont définis comme suit :

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}\mathrm {e} ^{x^{2}/2}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}}$ (forme dite probabiliste)

${\displaystyle {\widehat {H}}_{n}(x)=(-1)^{n}\mathrm {e} ^{x^{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\mathrm {e} ^{-x^{2}}}$ (forme dite physique)

Les deux définitions sont liées par la propriété d'échelle suivante : ${\displaystyle {\widehat {H}}_{n}(x)=2^{n/2}H_{n}\left(x\,{\sqrt {2}}\right)\,\!}$.

Ils peuvent également s'écrire sous forme de développement polynomial^[5] :

${\displaystyle H_{n}(x)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\dfrac {n!}{2^{k}k!(n-2k)!}}x^{n-2k}}$

${\displaystyle {\widehat {H}}_{n}(x)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\dfrac {n!}{k!(n-2k)!}}(2x)^{n-2k}}$

où ${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$ désigne la partie entière de n/2.

Polynômes d'Hermite

Les premiers polynômes d'Hermite sont les suivants :

${\displaystyle H_{0}=1~}$

${\displaystyle H_{1}=X~}$

${\displaystyle H_{2}=X^{2}-1~}$

${\displaystyle H_{3}=X^{3}-3X~}$

${\displaystyle H_{4}=X^{4}-6X^{2}+3~}$

${\displaystyle H_{5}=X^{5}-10X^{3}+15X~}$

${\displaystyle H_{6}=X^{6}-15X^{4}+45X^{2}-15~}$

${\displaystyle {\widehat {H}}_{0}=1~}$

${\displaystyle {\widehat {H}}_{1}=2X~}$

${\displaystyle {\widehat {H}}_{2}=4X^{2}-2~}$

${\displaystyle {\widehat {H}}_{3}=8X^{3}-12X~}$

${\displaystyle {\widehat {H}}_{4}=16X^{4}-48X^{2}+12~}$

${\displaystyle {\widehat {H}}_{5}=32X^{5}-160X^{3}+120X~}$

${\displaystyle {\widehat {H}}_{6}=64X^{6}-480X^{4}+720X^{2}-120~}$

On peut démontrer que dans H_p les coefficients d'ordre ayant la même parité que p – 1 sont nuls et que les coefficients d'ordre p et p – 2 valent respectivement 1 et ^{–p(p – 1)}⁄₂.

Propriétés

Orthogonalité

Le polynôme H_p est de degré p. Ces polynômes sont orthogonaux pour la mesure μ de densité

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mu (x)}{\mathrm {d} x}}={\frac {{\rm {e}}^{-x^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}},}$

c'est-à-dire qu'ils vérifient :

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,{\rm {e}}^{-x^{2}/2}\,\mathrm {d} x=n!{\sqrt {2\pi }}~\delta _{n,m}}$

où ${\displaystyle \delta _{n,m}}$ est le symbole de Kronecker. On a de même pour la forme physique :

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\widehat {H}}_{n}(x){\widehat {H}}_{m}(x)\,{\rm {e}}^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x=2^{n}n!{\sqrt {\pi }}~\delta _{n,m}.}$

Démonstration

On suppose m ≥ n. On obtient le résultat par n intégrations par parties (en utilisant, pour chacune, la nullité en ±∞ d'un polynôme multiplié par ${\displaystyle {\rm {e}}^{-x^{2}/2}}$) :

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{+\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,{\rm {e}}^{-x^{2}/2}\,\mathrm {d} x&=(-1)^{m}\int _{-\infty }^{+\infty }\left({\frac {\mathrm {d} ^{m}}{\mathrm {d} x^{m}}}{\rm {e}}^{-x^{2}/2}\right)H_{n}(x)\,\mathrm {d} x\\&=(-1)^{m-n}\int _{-\infty }^{+\infty }\left({\frac {\mathrm {d} ^{m-n}}{\mathrm {d} x^{m-n}}}{\rm {e}}^{-x^{2}/2}\right)H_{n}^{(n)}(x)\,\mathrm {d} x\\&=(-1)^{m-n}n!\,\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\mathrm {d} ^{m-n}}{\mathrm {d} x^{m-n}}}{\rm {e}}^{-x^{2}/2}\,\mathrm {d} x\\&={\begin{cases}{\text{si }}m>n~:&0\\{\text{si }}m=n~:&n!\,\int _{-\infty }^{+\infty }{\rm {e}}^{-x^{2}/2}\,\mathrm {d} x=n!\,{\sqrt {2\pi }}.\end{cases}}\end{aligned}}}$

Le résultat pour la forme physique s'obtient par un changement de variables.

Ces fonctions forment donc une base orthogonale de l'espace de Hilbert ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,\mu )}$ des fonctions boréliennes telles que

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }|f(x)|^{2}\,{\frac {{\rm {e}}^{-x^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\,\mathrm {d} x<+\infty }$

dans lequel le produit scalaire est donné par l'intégrale

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{+\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,{\frac {{\rm {e}}^{-x^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\,\mathrm {d} x.\,}$

Des propriétés analogues sont vérifiables pour les polynômes d'Hermite sous leur forme physique.

Propriétés de récurrence

Le n-ième polynôme d'Hermite satisfait l'équation différentielle suivante (dans ses deux versions probabiliste ou physique) :

${\displaystyle H_{n}''(x)-xH_{n}'(x)+nH_{n}(x)=0,\,}$

${\displaystyle {\widehat {H}}_{n}''(x)-2x{\widehat {H}}_{n}'(x)+2n{\widehat {H}}_{n}(x)=0.\,}$

Les polynômes d'Hermite vérifient également la relation de récurrence suivante :

${\displaystyle H_{n+1}(x)=xH_{n}(x)-nH_{n-1}(x),\,}$

${\displaystyle {\widehat {H}}_{n+1}(x)=2x{\widehat {H}}_{n}(x)-2n{\widehat {H}}_{n-1}(x).\,}$

En outre, ils satisfont la propriété :

${\displaystyle H_{n}'(x)=nH_{n-1}(x),\,}$

${\displaystyle {\widehat {H}}_{n}'(x)=2n{\widehat {H}}_{n-1}(x).\,}$

Démonstration

On fait la démonstration avec la forme physique. D'après la formule de Leibniz :

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n+1}}{{\rm {d}}x^{n+1}}}e^{-x^{2}}={\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}\left(-2xe^{-x^{2}}\right)=-2x{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}e^{-x^{2}}-2n{\frac {{\rm {d}}^{n-1}}{{\rm {d}}x^{n-1}}}e^{-x^{2}}}$

ce qui, multiplié par le facteur gaussien, donne :

${\displaystyle {\widehat {H}}_{n+1}(x)=2x{\widehat {H}}_{n}-2n{\widehat {H}}_{n-1}}$

Ce qui est une des propriétés de récurrence recherchées.

On dérive ensuite l'expression ${\displaystyle {\widehat {H}}_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}e^{-x^{2}}}$, ce qui donne :

${\displaystyle {\widehat {H}}_{n+1}(x)=2x{\widehat {H}}_{n}-{\widehat {H}}'_{n}}$

De ce qui précède, on tire ${\displaystyle {\widehat {H}}_{n}'(x)=2n{\widehat {H}}_{n-1}(x)}$, ce qui nous permet enfin de passer la propriété de récurrence déjà trouvée à l'autre.

Le résultat pour la forme mathématique s'obtient par un changement de variables.

Un développement de Taylor à l'ordre ${\displaystyle n}$ de ${\displaystyle H_{n}}$ autour de ${\displaystyle x}$ donne les formules suivantes :

${\displaystyle H_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}H_{n-k}(y)}$

${\displaystyle {\widehat {H}}_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(2x)^{k}{\widehat {H}}_{n-k}(y)}$

Fonctions d'Hermite-Gauss

Les polynômes d'Hermite interviennent dans la définition des fonctions d'Hermite-Gauss, utiles en physique quantique ou en optique :

${\displaystyle \psi _{n}(x)=c_{n}{\widehat {H}}_{n}(x)\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}}$

et la formule d'orthogonalité des polynômes d'Hermite pour la mesure ${\displaystyle \mu }$ (démontrée plus haut) assure que, en prenant ${\displaystyle c_{n}=(2^{n}n!{\sqrt {\pi }})^{-1/2}}$, les fonctions d'Hermite-Gauss forment bien une famille orthonormale dans ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,dx)}$ :

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\psi _{n}(x)\psi _{m}(x)\,\mathrm {d} x=\delta _{nm}}$

La famille des fonctions ${\displaystyle \psi _{n}}$ est utilisée en physique quantique comme étant la famille des fonctions d'onde des états propres de l'oscillateur harmonique quantique.

Les fonctions d'Hermite vérifient l'équation différentielle ${\displaystyle \psi _{n}''(x)+(2n+1-x^{2})\psi _{n}(x)=0}$, et elles héritent des polynômes d'Hermite les propriétés de récurrence :

${\displaystyle \psi _{n}'(x)={\sqrt {n/2}}~\psi _{n-1}(x)-{\sqrt {(n+1)/2}}~\psi _{n+1}(x)}$

${\displaystyle x\;\psi _{n}(x)={\sqrt {n/2}}~\psi _{n-1}(x)+{\sqrt {(n+1)/2}}~\psi _{n+1}(x)}$.

Enfin, cette famille de fonctions présente un autre intérêt majeur dans le cadre de l'analyse de Fourier : en notant ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ la transformation de Fourier (avec la convention ${\displaystyle {\mathcal {F}}[g](\omega )=1/{\sqrt {2\pi }}\int \,g(t)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega t}\mathrm {d} t}$), elle forme une base hilbertienne de ${\displaystyle {\rm {L}}^{2}(\mathbb {R} )}$ formée de vecteurs propres de ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ :

${\displaystyle {\mathcal {F}}[\psi _{n}]=\mathrm {i} ^{n}\,\psi _{n}}$

On notera que cette formule n'est exacte qu'en prenant le polynôme d'Hermite sous sa forme physique, et avec la convention de transformation de Fourier explicitée ci-dessus. En utilisant une autre convention, les valeurs propres changent : par exemple avec ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{bis}[g](\omega )=\int \,g(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}\mathrm {d} t}$ on obtiendra ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathrm {bis} }[\psi _{n}]={\sqrt {2\pi }}(-\mathrm {i} )^{n}\,\psi _{n}}$. La forme fréquentielle de la transformée de Fourier ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathrm {freq} }[g](f)=\int \,g(t)\mathrm {e} ^{-2\mathrm {i} \pi ft}\mathrm {d} t}$ sera plus volontiers diagonalisable avec des fonctions légèrement modifiées, ${\displaystyle \phi _{n}(x)=2^{1/4}({\sqrt {n!}})^{-1/2}\,{\rm {e}}^{-\pi x^{2}}H_{n}(2x{\sqrt {\pi }})=(2\pi )^{1/4}\psi ({\sqrt {2\pi }}x)}$, pour lesquelles on aura ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathrm {freq} }[\phi _{n}]=(-\mathrm {i} )^{n}\,\phi _{n}}$.

Notes et références

1. C. Hermite, « Sur un nouveau développement en série de fonctions », C. R. Acad. Sci. Paris, vol. 58,‎ 1864, p. 93–100, 266-273 (lire en ligne), reproduit in Œuvres II, 293–308.
2. Laplace 1810 (online).
3. P.-S. Laplace, Théorie analytique des probabilités, vol. 2, 1812, 194–203 p. (lire en ligne)
4. P. L. Chebyshev, « Sur le développement des fonctions à une seule variable », Bull. Acad. Sci. St. Petersb., vol. 1,‎ 1859, p. 193–200, reproduit in Œuvres I, 501–508.
5. (en) Bibhuti Bhusan Saha, « On a generating function of Hermite polynomials », Yokohama Mathematical Journal,‎ 1969, p. 73-76 (lire en ligne)

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Hermite Polynomial », sur MathWorld
• (en) « Classical Orthogonal Polynomials », sur NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010 (ISBN 978-0521192255)

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