Quadrupôle électrostatique

En électrostatique, un quadrupôle est une distribution de charges telle que les barycentres des charges positives et des charges négatives soient confondus.

Quadrupôle électrique.

Analyse du quadrupôle

Soit une distribution ${\displaystyle ({\mathcal {D}})}$ de charges ${\displaystyle q_{i}}$ aux points ${\displaystyle P_{i}}$. Cette distribution ${\displaystyle ({\mathcal {D}})}$ à support compact crée à une grande distance des charges (pour ${\displaystyle r\gg a}$, avec ${\displaystyle a}$ longueur caractéristique de la distribution) un potentiel ${\displaystyle V_{1}(r)}$.

On définit :

• ${\displaystyle {\vec {r_{i}}}={\vec {OP_{i}}}}$
• ${\displaystyle q=\sum _{i}q_{i}}$ la somme des charges
• ${\displaystyle {\vec {p}}(O)=\sum _{i}q_{i}{\vec {r_{i}}}}$, indépendant de ${\displaystyle O}$ si ${\displaystyle q=0}$, nul si ${\displaystyle O}$ est choisi barycentre des charges
• ${\displaystyle J_{O}=\sum _{i}q_{i}r_{i}^{2}}$, le moment d'inertie par rapport à ${\displaystyle O}$
• ${\displaystyle {\hat {J}}({\vec {X}})=\sum _{i}q_{i}{\vec {r_{i}}}\wedge ({\vec {X}}\wedge {\vec {r_{i}}})}$, l'opérateur linéaire d'inertie par rapport à ${\displaystyle O}$
• ${\displaystyle {\hat {Q}}=2J_{o}X-3{\hat {J}}X}$, l'opérateur linéaire quadrupolaire en ${\displaystyle O}$

On peut vérifier que ${\displaystyle {\hat {Q}}}$ est de trace nulle : ${\displaystyle {\textrm {Tr}}\ {\hat {Q}}=0}$.

Dans le cas d'une distribution continue de charge, l'expression de la composante ${\displaystyle Q_{ij}}$ du tenseur quadrupolaire est

${\displaystyle Q_{ij}=\int \rho \left(3r_{i}r_{j}-\|r\|^{2}\delta _{ij}\right){\textrm {d}}^{3}{\vec {r}}}$, où ${\displaystyle \delta _{ij}}$ est le symbole de Kronecker.

Développement quadrupolaire

Théorème :

${\displaystyle V_{1}({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{r}}+{\frac {{\vec {p}}\cdot {\vec {u}}}{r^{2}}}+{\frac {{\vec {u}}\cdot \left({\hat {Q}}{\vec {u}}\right)}{2r^{3}}}\right)+o\left({\frac {1}{r^{3}}}\right)}$, avec ${\displaystyle {\vec {u}}={\frac {\vec {r}}{r}}}$

En gravimétrie, ce théorème s'appelle formule de MacCullagh.

Cas particulier : axe de symétrie

Lorsque ${\displaystyle ({\mathcal {D}})}$ possède une symétrie de révolution, les expressions du moment quadrupolaire se simplifient et ${\displaystyle {\hat {Q}}}$ est diagonale.

Si on suppose la symétrie autour de l'axe ${\displaystyle (Oz)}$, alors la matrice des moments est ${\displaystyle Q_{x,x}=Q_{y,y}=-Q_{o}/2}$ et ${\displaystyle Q_{z,z}=Q_{o}}$.

Si ${\displaystyle q}$ n'est pas nul, on choisit ${\displaystyle O}$ en ${\displaystyle G}$, et alors :

${\displaystyle V_{1}({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{r}}+{\frac {Q_{o}}{2r^{3}}}\cdot P_{2}(\cos \theta )\right)+o\left({\frac {1}{r^{3}}}\right)}$, avec ${\displaystyle P_{2}(x)={\frac {3x^{2}-1}{2}}}$ (3^e polynôme de Legendre).

Ce théorème vaut en gravimétrie pour la Terre supposée de révolution. Dans ce cas, ${\displaystyle Q_{o}=2(A-C)<0}$ ; l'usage est de poser ${\displaystyle J_{2}={\frac {C-A}{Ma^{2}}}=1,08263\times 10^{-3}}$.

Le potentiel terrestre est ainsi ${\displaystyle V(M)=-{\frac {GM}{r}}+{\frac {GMaJ_{2}P_{2}(\cos \theta )}{r^{3}}}}$.

Ce développement peut être poussé plus loin (développement en harmoniques sphériques; termes en ${\displaystyle J_{4}}$ (octupolaire), ${\displaystyle J_{6}}$, etc.).

Articles connexes

• Électrostatique
• Dipôle électrostatique
• Gravimétrie
• Quadrupôle magnétique

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