La métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker[1] , [2] équation tensorielle fondamentale de la relativité générale d'Albert Einstein [3] homogène et isotrope , en expansion ou en contraction[3] espace-temps dont la métrique décrit la géométrie est feuilleté par des espaces tridimensionnels (hypersurfaces à trois dimensions et de genre temps) de courbure constante[4] [4] : la théorie du Big Bang [5]
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Les éponymes de la métrique sont Alexandre Friedmann , Georges Lemaître , Howard Percy Robertson et Arthur Geoffrey Walker [2] , [6] , [7]
Friedmann obtient la métrique dès 1922 [8] [9] , [10] 1924 [9] , [11] [8] 1927 [8] [9] , [12] 1929 [9] 1933 1935 [13] [14] 1935 , l'unicité : elle est l'unique métrique pour un espace-temps homogène et isotrope[8]
Il a été noté[6] métrique de Robertson-Walker [2] , [15] , [16] , [N 1] équations qui en décrivent sa dynamique [6] [20] : Friedmann-Robertson-Walker (FRW), Friedmann-Lemaître (FL)…
La métrique FLRW décrit la géométrie moyenne de l'Univers aux grandes échelles. Elle nous donne sa dynamique et nous permet de connaître l'évolution de sa taille (contraction ou expansion de l'Univers).
Un univers homogène et isotrope demeure au cours de son évolution homogène et isotrope. Il ne peut rendre compte de la formation des structures le composant, de densité inhomogène par définition. La formation de ses structures, tels que les filaments ou les amas de galaxies , est permise par l'introduction de perturbations autour de cette métrique FLRW. Ces perturbations croissent au cours du temps, par attraction gravitationnelle, et entraînent la création des grandes structures observées. Elles sont supposées d'origine quantique, et leur existence nous est donnée par l'observation du fond diffus cosmologique , réalisée grâce aux satellites COBE , WMAP , et plus récemment Planck .
La métrique FLRW est de forme[21] , [22] , [23] , [24] :
d
s
2
=
g
μ
ν
d
x
μ
d
x
ν
=
c
2
d
t
2
−
a
2
(
t
)
γ
i
j
d
x
i
d
x
j
{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=g_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\mathrm {d} x^{\nu }=c^{2}\mathrm {d} t^{2}-a^{2}(t)\gamma _{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}}
où :
x
μ
(
μ
=
0
,
1
,
2
,
3
)
{\displaystyle x^{\mu }(\mu =0,1,2,3)}
coordonnées d'espace-temps , avec :
x
0
=
t
{\displaystyle x^{0}=t}
;
x
i
(
i
=
1
,
2
,
3
)
{\displaystyle x^{i}(i=1,2,3)}
;
c
{\displaystyle c}
vitesse de la lumière [2] vide ;
γ
i
j
{\displaystyle \gamma _{ij}}
induite [23] , [24] hypersurfaces à trois dimensions[23] genre espace [23] , [24] En coordonnées sphériques
(
r
,
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle (r,\theta ,\phi )}
[25] élément de longueur d'espace-temps
d
s
{\displaystyle ds}
:
d
s
2
=
c
2
d
t
2
−
a
(
t
)
2
(
d
r
2
1
−
k
r
2
+
r
2
d
Ω
2
)
{\displaystyle {\rm {d}}s^{2}=c^{2}{\rm {d}}t^{2}-a(t)^{2}\left({\frac {{\rm {d}}r^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}{\rm {d}}\Omega ^{2}\right)}
en choisissant la signature de la métrique (en)
(
+
−
−
−
)
{\displaystyle (+---)}
:
a
(
t
)
{\displaystyle a(t)\;}
facteur d'échelle . Le signe de
a
˙
(
t
)
{\displaystyle {\dot {a}}(t)}
:
a
˙
(
t
)
>
0
{\displaystyle {\dot {a}}(t)>0}
a
˙
(
t
)
<
0
{\displaystyle {\dot {a}}(t)<0}
a
˙
(
t
)
=
0
{\displaystyle {\dot {a}}(t)=0}
t
{\displaystyle t}
t
a
{\displaystyle t_{a}}
a
(
t
a
)
=
N
>
1
{\displaystyle a(t_{a})=N>1}
N
{\displaystyle N}
maintenant . Pour un temps
t
b
{\displaystyle t_{b}}
a
(
t
b
)
=
1
/
N
<
1
{\displaystyle a(t_{b})=1/N<1}
N
{\displaystyle N}
maintenant ;
k
{\displaystyle k\;}
[26]
−
1
{\displaystyle -1}
0
{\displaystyle 0}
+
1
{\displaystyle +1}
k
=
−
1
{\displaystyle k=-1}
k
=
0
{\displaystyle k=0}
relativité restreinte ), et la valeur
k
=
+
1
{\displaystyle k=+1}
;
d
Ω
2
=
d
θ
2
+
sin
2
θ
d
ϕ
2
{\displaystyle \textstyle {\rm {d}}\Omega ^{2}={\rm {d}}\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \;{\rm {d}}\phi ^{2}}
[25] sphère ;
a
{\displaystyle a}
homogène à une longueur [21] ;
t
{\displaystyle t}
temps cosmique [26] ;
r
{\displaystyle r}
sans dimension [21] ;En introduisant le changement de coordonnées :
{
r
=
sin
(
χ
/
R
0
)
si
k
=
1
r
=
χ
/
R
0
si
k
=
0
r
=
sinh
(
χ
/
R
0
)
si
k
=
−
1
{\displaystyle {\begin{cases}r=\sin(\chi /R_{0})&{\textrm {si}}\ k=1\\r=\chi /R_{0}&{\textrm {si}}\ k=0\\r=\sinh(\chi /R_{0})&{\textrm {si}}\ k=-1\\\end{cases}}}
χ
{\displaystyle \chi \;}
distance comobile , l'élément de longueur
d
s
{\displaystyle ds}
:
d
s
2
=
c
2
d
t
2
−
a
(
t
)
2
(
d
χ
2
+
S
k
2
(
χ
)
d
Ω
2
)
{\displaystyle {\rm {d}}s^{2}=c^{2}{\rm {d}}t^{2}-a(t)^{2}\left({\rm {d}}\chi ^{2}+S_{k}^{2}(\chi ){\rm {d}}\Omega ^{2}\right)}
S
k
(
χ
)
=
R
(
t
0
)
{
sin
(
χ
/
R
(
t
0
)
)
si
k
=
1
χ
/
R
(
t
0
)
si
k
=
0
sinh
(
χ
/
R
(
t
0
)
)
si
k
=
−
1
{\displaystyle S_{k}(\chi )=R(t_{0}){\begin{cases}\sin(\chi /R(t_{0}))&{\textrm {si}}\ k=1\\\chi /R(t_{0})&{\textrm {si}}\ k=0\\\sinh(\chi /R(t_{0}))&{\textrm {si}}\ k=-1\\\end{cases}}\;}
Dans un espace plat
Pour
k
=
0
{\displaystyle k=0\;}
:
d
s
2
=
c
2
d
t
2
−
R
(
t
)
2
(
d
r
2
+
r
2
d
Ω
2
)
{\displaystyle {\rm {d}}s^{2}=c^{2}{\rm {d}}t^{2}-R(t)^{2}\left({\rm {d}}r^{2}+r^{2}{\rm {d}}\Omega ^{2}\right)\;}
L'espace est plat mais pas l'espace-temps. La métrique est différente de la métrique de Minkowski caractérisant la relativité restreinte.
Dans un espace de courbure positive
Pour
k
=
+
1
{\displaystyle k=+1\;\;}
:
d
s
2
=
c
2
d
t
2
−
R
(
t
)
2
(
d
r
2
1
−
r
2
+
r
2
d
Ω
2
)
{\displaystyle {\rm {d}}s^{2}=c^{2}{\rm {d}}t^{2}-R(t)^{2}\left({\frac {{\rm {d}}r^{2}}{1-r^{2}}}+r^{2}{\rm {d}}\Omega ^{2}\right)}
L'élément de longueur possédant une singularité en
r
=
1
{\displaystyle r=1}
χ
{\displaystyle \chi }
:
d
s
2
=
c
2
d
t
2
−
a
(
t
)
2
(
d
χ
2
+
R
(
t
0
)
2
sin
2
(
χ
/
R
(
t
0
)
)
d
Ω
2
)
{\displaystyle {\rm {d}}s^{2}=c^{2}{\rm {d}}t^{2}-a(t)^{2}\left({\rm {d}}\chi ^{2}+R(t_{0})^{2}\sin ^{2}\left(\chi /R(t_{0})\right)\;{\rm {d}}\Omega ^{2}\right)\;}
Pour
k
=
−
1
{\displaystyle k=-1\;}
:
d
s
2
=
c
2
d
t
2
−
R
(
t
)
2
(
d
r
2
1
+
r
2
+
r
2
d
Ω
2
)
=
c
2
d
t
2
−
a
(
t
)
2
(
d
χ
2
+
R
(
t
0
)
2
sinh
2
(
χ
/
R
(
t
0
)
)
d
Ω
2
)
{\displaystyle {\rm {d}}s^{2}=c^{2}{\rm {d}}t^{2}-R(t)^{2}\left({\frac {{\rm {d}}r^{2}}{1+r^{2}}}+r^{2}{\rm {d}}\Omega ^{2}\right)=c^{2}{\rm {d}}t^{2}-a(t)^{2}\left({\rm {d}}\chi ^{2}+R(t_{0})^{2}\sinh ^{2}\left(\chi /R(t_{0})\right)\;{\rm {d}}\Omega ^{2}\right)\;}
EDDA , s.v. EU , s.v. EB , s.v. OR , s.v.
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