Les distributions Gamma sont utilisées pour modéliser une grande variété de phénomènes, et tout particulièrement les phénomènes se déroulant au cours du temps où par essence, le temps écoulé est une grandeur réelle positive; c'est le cas par exemple dans l'analyse de survie.
Paramétrage avec la forme k et l'échelle θ
Soient k et θ deux réels strictement positifs. Une variable aléatoireX suit une loi Gamma de paramètres k et θ, ce que l'on note aussi (où Γ est la majuscule de la lettre grecque gamma) si sa fonction de densité de probabilité peut se mettre sous la forme:
Alternativement, la distribution Gamma peut être paramétrée à l'aide d'un paramètre de formeα = k et d'un paramètre d'intensité (rate parameter):
.
Les deux paramétrages sont répandus, selon le contexte. On note la même notation et pour la loi pour les deux paramétrages. La notation est ambigüe, mais elle dépend du paramétrage choisi.
Moyenne et variance
La moyenne (espérance) d'une distribution gamma est le produit des paramètres de forme et d'échelle:
Si chaque Xi suit la loi Γ(ki, θ) pour i=1,2,..., N, et si les variables aléatoires Xi sont indépendantes, alors:
.
Changement d'échelle
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi gamma de paramètres de forme k et d'échelle θ. Alors pour tout t > 0, la variable tX est distribuée selon une loi de paramètre de forme k et d'échelle tθ. Dit autrement pour le paramétrage (α, β), si X suit une loi gamma de paramètres de forme α et d'intensité β, alors tX est distribuée selon une loi de paramètre de forme et d'intensité β/t, que l'on note également .
Contraintes sur les paramètres
Si , alors X a une distribution exponentielle de paramètre λ. En effet, pour , l'expression de la densité devient . Il s'agit bien de la densité de probabilité de la distribution exponentielle de paramètre λ.
Si , alors X est identique à une variable qui suit χ2(ν), la loi du χ² avec ν degrés de liberté.
Si X a une distribution Γ(k, θ), alors 1/X a une distribution loi gamma inverse, de paramètres k et θ−1.
Si X et Y sont distribuées indépendamment selon des lois Γ(α, θ) et Γ(β, θ) respectivement, alors X/(X+Y) a une distribution beta de paramètres α et β.
Si Xi sont distribuées selon des lois Γ(αi, θ) respectivement, alors le vecteur (X1/S, ..., Xn/S), où S=X1+...+Xn, suit une distribution de Dirichlet de paramètres α1, ..., αn.
Pour k grand, la distribution Gamma converge vers une loi normale, de moyenne et de variance . De plus, quels que soient k et θ, en fixant de cette manière les constantes et , les densités de probabilité de la distribution Gamma Γ(k, θ) et de la loi normale ont alors deux points d'inflexion aux mêmes abscisses, à savoir et .
Une loi Gamma généralisée a été définie avec un troisième paramètre[2]:
,
afin de réunir dans une même famille la loi Gamma, la loi de Weibull et la loi exponentielle.