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La loi de Xenakis est la loi d'une variable aléatoire positive, utilisée par Iannis Xenakis en musique stochastique, par exemple pour les durées des notes et leur variation de hauteur[1].
Loi de Xenakis | |
![]() Fonction de répartition Fonction de répartition de la loi de Xenakis de paramètre 1; elle est proche de celle d'une loi exponentielle de paramètre e | |
Paramètres | |
---|---|
Support | |
Densité de probabilité | pour |
Fonction de répartition | pour |
Espérance | |
Médiane | |
Mode | 0 |
Variance | |
Asymétrie | |
Kurtosis normalisé | |
Entropie | |
Fonction génératrice des moments | |
Fonction caractéristique | |
modifier ![]() |
La loi de Xenakis est la loi de la longueur d'un segment inclus dans un segment de longueur a[2]. C'est donc une loi triangulaire de paramètres 0, a et 0.
La densité de la loi de Xenakis est, dans sa forme standard, une fonction affine sur [0 , a] s'annulant en a.
Le paramètre a est donc un paramètre d'échelle ; la forme standard de la loi de Xenakis ne présente pas de paramètre de position.
La fonction de répartition de la loi de Xenakis est du second degré. Par conséquent, on peut simuler celle-ci à l'aide d'une loi uniforme continue. En effet, si X est une variable aléatoire uniforme sur [0 ; 1], est une variable aléatoire de Xenakis de paramètre a.
La loi de Xenakis sur [0 ; 1] est une loi bêta de paramètres 1 et 2. On peut donc définir la loi de Xenakis de paramètre 1 comme la loi du minimum de deux variables aléatoires uniformes sur [0 ; 1].
La loi de Xenakis centrée réduite, donc d’espérance 0 et d’écart type 1, est définie sur par :
Pour simuler une variable de Xenakis de paramètre 1 à partir de variables uniformes sur [0 ; 1], on a le choix entre trois méthodes :
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