Transversalité

En algèbre linéaire et en géométrie différentielle, la propriété de transversalité est un qualificatif pour l'intersection de sous-espaces ou de sous-variétés. Elle est en quelque sorte l'opposé de la notion de tangente.

Deux sous-espaces vectoriels ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle G}$ d'un espace vectoriel ${\displaystyle E}$ sont dits transverses quand ${\displaystyle F+G=E}$. Cette condition peut être réécrite, le cas échéant, en termes de codimension :

${\displaystyle \operatorname {codim} (F)+\operatorname {codim} (G)=\operatorname {codim} (F\cap G)}$.

Deux sous-espaces affines ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle Z}$ d'un espace affine ${\displaystyle X}$ sont dits transverses si leurs directions sont transverses^{[réf. nécessaire]}, c'est-à-dire si

${\displaystyle {\overrightarrow {Y}}+{\overrightarrow {Z}}={\overrightarrow {X}}}$.

Deux sous-variétés ${\displaystyle M}$ et ${\displaystyle N}$ d'une variété différentielle ${\displaystyle P}$ sont dites transverses lorsque, pour tout point ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle M\cap N}$, les espaces tangents ${\displaystyle \displaystyle T_{x}M}$ et ${\displaystyle \displaystyle T_{x}N}$ sont transverses dans l'espace tangent ${\displaystyle \displaystyle T_{x}P}$, c'est-à-dire si

${\displaystyle \displaystyle T_{x}P=T_{x}M+T_{x}N}$

Dans la suite, ${\displaystyle m,n,p}$ désignent les dimensions respectives de ${\displaystyle M,N,P}$.

Remarques :

• La définition reste valable pour les variétés banachiques.
• Deux sous-variétés disjointes sont transverses.
• Si ${\displaystyle m+n<p}$, alors la condition de transversalité ne peut être vérifiée que si les sous-variétés ${\displaystyle M}$ et ${\displaystyle N}$ sont disjointes.

Théorème — Une intersection transverse et non vide ${\displaystyle M\cap N}$ est une sous-variété différentielle de dimension ${\displaystyle m+n-p}$.

On a donc dans ce cas les relations

${\displaystyle \operatorname {dim} (M\cap N)=\operatorname {dim} (M)+\operatorname {dim} (N)-\operatorname {dim} (P)}$

et

${\displaystyle \operatorname {codim} (M\cap N)=\operatorname {codim} (M)+\operatorname {codim} (N).}$

Par exemple, deux surfaces régulières de l'espace à trois dimensions sont transverses si et seulement si elles n'ont aucun point de tangence. Dans ce cas, leur intersection forme une courbe régulière (éventuellement vide).

La notation ${\displaystyle M\pitchfork N}$ indique chez certains auteurs que ${\displaystyle M}$ et ${\displaystyle N}$ sont transverses.

Nombre d'intersection

Généricité

Théorème — Si ${\displaystyle M}$ et ${\displaystyle N}$ sont deux sous-variétés de classe ${\displaystyle C^{k}}$ (${\displaystyle \scriptstyle k\geq 1}$) de dimensions respectives ${\displaystyle m}$ et ${\displaystyle n}$, alors il existe un ${\displaystyle C^{k}}$-difféomorphisme ${\displaystyle h}$ de ${\displaystyle P}$, aussi proche de l'identité que souhaité en topologie ${\displaystyle C^{k}}$, tel que ${\displaystyle h(M)}$ intersecte transversalement ${\displaystyle N}$.

En général, deux sous-variétés s'intersectent transversalement, quitte à perturber l'une d'elles par une isotopie.

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