Intégrale de Borwein

En mathématiques, une intégrale de Borwein est une intégrale mettant en jeu des produits de sinc(ax), où sinc est la fonction sinus cardinal, définie par sinc(x) = sin(x)/x. Les intégrales de Borwein, découvertes par David Borwein et Jonathan Borwein en 2001, présentent des régularités apparentes qui finissent par cesser. Ainsi,

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

Ce schéma continue jusqu'à

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}}$.

Cependant, à l'étape suivante, on a l'étrange résultat^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,\mathrm {d} x&={\frac {467\,807\,924\,713\,440\,738\,696\,537\,864\,469}{935\,615\,849\,440\,640\,907\,310\,521\,750\,000}}\pi \\&={\frac {\pi }{2}}-{\frac {6\,879\,714\,958\,723\,010\,531}{935\,615\,849\,440\,640\,907\,310\,521\,750\,000}}\pi \\&\simeq {\frac {\pi }{2}}-2{,}31\times 10^{-11}.\end{aligned}}}$

Plus généralement, des intégrales similaires ont pour valeur π/2 chaque fois que les nombres 3, 5, ... sont remplacés par des réels positifs dont la somme des inverses est inférieure à 1. Dans l'exemple précédent, 1/3 + 1/5 + … + 1/13 < 1, mais 1/3 + 1/5 + … + 1/15 > 1.

En ajoutant un facteur supplémentaire, cos(x), dans le produit, le schéma peut être prolongé : on a

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{4}},}$

mais

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}{\frac {\sin(x/113)}{x/113}}\,\mathrm {d} x<{\frac {\pi }{4}},}$

Dans ce cas, on a 1/3 + 1/5 + … + 1/111 < 2, mais 1/3 + 1/5 + … + 1/113 > 2.

Les démonstrations de ces schémas ont été établies par des démonstrations intuitives^[2]. En particulier, une reformulation en termes de marche aléatoire, couplée à un argument de causalité, éclaire le changement de comportement des intégrales de Borwein, et permet des généralisations à des familles reliées^[3].

Explication du phénomène

La théorie de Fourier donne des éléments de réponse : la fonction sinus cardinal est la transformée de Fourier d'une fonction porte et la fonction intégrée est la transformée de Fourier du produit de convolution de plusieurs fonctions porte. Cette convolution multiple va entraîner un lissage de la fonction porte initiale, mais surtout une « érosion » du plateau de celle-ci au fil des convolutions, jusqu'au point où celui-ci n'est plus visible, provoquant le décrochage de la suite d'intégrales^[4].

Formule générale

Pour une suite de nombres réels non nuls a₀, a₁, a₂,... , on peut associer une intégrale de la forme^[5]

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,\mathrm {d} x}$

Pour établir la formule, on devra considérer des sommes à partir des a_k. En particulier, si γ = (γ₁, γ₂,...,γ_n) est un n-uplet où chaque terme vaut ±1, alors on écrit b_γ = a₀ + γ₁a₁ + γ₂a₂ + ... + γ_na_n, qui est une variation de la somme alternée, et le produit ε_γ = γ₁γ₂...γ_n = ±1. Avec ces notations, l'intégrale se réécrit :

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2a_{0}}}C_{n}}$

avec C_n = 1 si ${\displaystyle a_{0}>|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|}$, et

${\displaystyle C_{n}=1-{\frac {1}{2^{n}n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}\sum _{\gamma \in \{\pm 1\}^{n}}\varepsilon _{\gamma }b_{\gamma }^{n}\operatorname {sgn}(b_{\gamma })}$ sinon.

Le cas de Borwein correspond à la suite a_k = 1/2k+1.

Pour n = 7 on a a₇ = 1/15, et 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + 1/13 < 1 mais 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + 1/13 + 1/15 > 1. Ainsi, puisque a₀ = 1, on trouve bien

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}}$

(pour n = 6, et de même pour toutes les intégrales avec n < 7), mais

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}\left(1-{\frac {(3^{-1}+5^{-1}+7^{-1}+9^{-1}+11^{-1}+13^{-1}+15^{-1}-1)^{7}}{2^{6}\cdot 7!\cdot (1/3\cdot 1/5\cdot 1/7\cdot 1/9\cdot 1/11\cdot 1/13\cdot 1/15)}}\right).}$

Extensions

Afin de prolonger la suite d'intégrales constante, on peut ajouter un facteur cos(x) dans l'intégrande^[4]:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{+\infty }\cos(x){\frac {\sin x}{x}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{4}}\\[10pt]&\int _{0}^{+\infty }\cos(x){\frac {\sin x}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{4}}\\[10pt]&\int _{0}^{+\infty }\cos(x){\frac {\sin x}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{4}}\\[10pt]&\vdots \\&\int _{0}^{+\infty }\cos(x){\frac {\sin x}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{4}}\\[10pt]&\int _{0}^{+\infty }\cos(x){\frac {\sin x}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}{\frac {\sin(x/113)}{x/113}}\,\mathrm {d} x<{\frac {\pi }{4}}.\end{aligned}}}$

Notes

1. Le site de MathOverflow mentionne ces intégrales (en) comme ayant fait craindre une erreur dans un système de calcul formel, jusqu'à ce que les programmeurs réalisent que le résultat était correct.
2. (en) Hanspeter Schmid, « Two curious integrals and a graphic proof », Elemente der Mathematik, vol. 69, n^o 1,‎ 2014, p. 11–17 (ISSN 0013-6018, DOI 10.4171/EM/239, lire en ligne)
3. (en) Satya Majumdar et Emmanuel Trizac, « When random walkers help solving intriguing integrals », Physical Review Letters, vol. 123,‎ 2019, p. 020201 (ISSN 1079-7114, DOI 10.48550/arXiv.1906.04545, lire en ligne)
4. (en) Hanspeter Schmid, « Two curious integrals and a graphic proof », Elemente der Mathematik, vol. 69,‎ 2014, p. 11–17 (DOI 10.4171/EM/239)
5. David Borwein et Jonathan M. Borwein, « Some remarkable properties of sinc and related integrals », The Ramanujan Journal, vol. 5, n^o 1,‎ 2001, p. 73–89 (ISSN 1382-4090, DOI 10.1023/A:1011497229317, MR 1829810, lire en ligne)

Liens externes

• (en) [vidéo] 3Blue1Brown, « Borwein's integral », sur YouTube, présentation du problème et résolution à un niveau abordable.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Borwein integral » (voir la liste des auteurs).
• (en) David Borwein et Jonathan M. Borwein, « Some remarkable properties of sinc and related integrals », The Ramanujan Journal, vol. 5, n^o 1,‎ 2001, p. 73-89 (DOI 10.1023/A:1011497229317, MR 1829810, lire en ligne)

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