Inégalité arithmético-géométrique

En mathématiques, l'inégalité arithmético-géométrique (IAG) établit un lien entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique. C'est un résultat classique lié à la convexité.

Preuve sans mots de l'inégalité arithmético-géométrique en deux dimensions : PR est un diamètre d'un cercle de centre O ; son rayon AO a donc pour longueur la moyenne arithmétique de a et b. Par le théorème de la moyenne géométrique, on trouve aussi que la hauteur GQ a pour longueur la moyenne géométrique de a et b. On a donc bien pour tous a:b, AO ≥ GQ.

Énoncé

La moyenne géométrique de ${\displaystyle n}$ réels strictement positifs ${\displaystyle x_{1},\,\dots ,\,x_{n}}$ est inférieure à leur moyenne arithmétique :

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}\leqslant {\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}}$,

avec égalité (si et) seulement si ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\dots =x_{n}}$.

Démonstrations

Les deux réels ${\displaystyle {\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}}$ (moyenne arithmétique) et ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}=(x_{1}\dots x_{n})^{1/n}}$ (moyenne géométrique) étant strictement positifs, l'inégalité à démontrer équivaut (par croissance stricte du logarithme naturel) à

${\displaystyle \ln \left((x_{1}\dots x_{n})^{1/n}\right)\leqslant \ln {\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}},}$

ou encore (d'après l'équation fonctionnelle du logarithme) à

${\displaystyle {\frac {\ln x_{1}+\cdots +\ln x_{n}}{n}}\leqslant \ln {\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}.}$

Cette dernière inégalité n'est autre que l'inégalité de Jensen pour des isobarycentres, appliquée à la fonction logarithme, qui est concave.

Le cas d'égalité provient du fait que cette concavité est stricte.

L'inégalité arithmético-géométrique peut également être démontrée comme corollaire de l'inégalité de Muirhead, appliquée aux suites (1,0, … , 0) et (1/n, … , 1/n).

On peut également utiliser les multiplicateurs de Lagrange en étudiant les maximums de la fonction ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto x_{1}\,x_{2}\,\cdots \,x_{n}}$ sur l'ensemble ${\displaystyle \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in (\mathbb {R} _{+})^{n}:x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}=1\}}$.

Preuve de Pólya

George Pólya prouve l'inégalité arithmético-géométrique en utilisant l'inégalité :

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \exp x\geqslant 1+x.}$

On considère ensuite a₁, a₂, ..., a_n des nombres réels strictement positifs. On pose ensuite :

${\displaystyle A={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k},\ G=\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)^{\frac {1}{n}}.}$

On utilise l'inégalité ci-dessus pour les nombres a_k/A, ce qui donne :

${\displaystyle {\frac {a_{k}}{A}}\leqslant \exp \left({\frac {a_{k}}{A}}-1\right)}$

dont le produit donne :

${\displaystyle {\frac {\prod _{k=1}^{n}a_{k}}{A^{n}}}\leqslant \exp \left({\frac {1}{A}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}-n\right)}$

soit

${\displaystyle {\frac {G^{n}}{A^{n}}}\leqslant \exp \left(n-n\right)=1,}$

ce qui permet de conclure. On remarque alors qu'on atteint l'égalité s'il y a égalité dans chacune des inégalités précédentes, donc si les a_i sont tous égaux (à A)^[1].

Preuve d'Aizer

Horst Aizer donne cette preuve^[2] : soit f une fonction réelle continue telle qu'il existe x₀ vérifiant

${\displaystyle \forall x>x_{0},\ f(x)>f(x_{0})\ \mathrm {et} \ \forall x<x_{0},\ f(x)<f(x_{0}).}$

On a alors :

${\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t\geqslant \int _{x_{0}}^{x}f(x_{0})\,\mathrm {d} t=(x-x_{0})f(x_{0}).}$

On applique ce résultat à f(t) = –1/t :

${\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}\leqslant {\frac {x-x_{0}}{x_{0}}}.}$

On en déduit

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\int _{x_{0}}^{a_{i}}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}\leqslant {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}-x_{0}}{x_{0}}}.}$

soit

${\displaystyle \ln {\frac {\prod _{i=1}^{n}a_{i}^{\frac {1}{n}}}{x_{0}}}\leqslant {\frac {1}{nx_{0}}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}-1}$

donc ln(G/x₀) ≤ ^A⁄_x0 – 1. Considérer x₀ = A ou G permet de conclure.

Preuve de Schlömilch

Oskar Schlömilch donne une preuve élémentaire^[3]. On considère l'identité :

${\displaystyle (1-z)^{2}(1+2z+3z^{2}+...+nz^{n-1})=1-(n+1)z^{n}+nz^{n+1}.}$

qu'on peut obtenir en dérivant l'expression 1 – zⁿ⁺¹/1 – z de deux façons différentes. Le membre de gauche est positif pour z positif. On a donc, pour z positif :

${\displaystyle 1+nz^{n+1}\geqslant (n+1)z^{n}}$

avec égalité en z = 1. La substitution ${\displaystyle z^{n+1}=x/y}$ donne

${\displaystyle nx+y\geqslant (n+1)(x^{n}y)^{\frac {1}{n+1}}}$

avec égalité si et seulement si x = y. On retrouve alors une inégalité arithmético-géométrique pondérée. On finit par récurrence sur n pour conclure.

Preuve matricielle

Fergus Gaines donne une preuve^[4] reposant sur une inégalité de Schur^[5] qui stipule que, pour une matrice carrée M de valeurs propres λ₁, λ₂, ... , λ_n :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|\lambda _{k}|^{2}\leq \sum _{i,j=1}^{n}|a_{i,j}|^{2},}$

avec égalité si et seulement si M est normale.

Appliquée à la matrice

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}0&{\sqrt {a_{1}}}&0&\ldots &0\\0&0&{\sqrt {a_{2}}}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &{\sqrt {a_{n-1}}}\\{\sqrt {a_{n}}}&0&0&\ldots &0\end{pmatrix}}}$

et en remarquant que Mⁿ = √a₁…a_n I_n, les valeurs propres de M sont ${\displaystyle \lambda _{k}={\rm {e}}^{\frac {2{\rm {i}}k\pi }{n}}\left(a_{1}a_{2}...a_{n}\right)^{\frac {1}{2n}}.}$ L'inégalité de Schur donne directement l'inégalité arithmético-géométrique, avec égalité si et seulement si diag(a₁, a₂, … , a_n) = diag(a_n, a₁, … , a_n–1), c'est-à-dire lorsque les a_i sont tous égaux.

Généralisations

Pondération

L'inégalité arithmético-géométrique se généralise aux moyennes pondérées arithmétique et géométrique :

Si ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\geqslant 0}$ et ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}>0}$ alors, en notant ${\displaystyle \alpha =\alpha _{1}+\ldots +\alpha _{n}}$ :

${\displaystyle {\sqrt[{\alpha }]{x_{1}^{\alpha _{1}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}}\leqslant {\frac {\alpha _{1}x_{1}+\ldots +\alpha _{n}x_{n}}{\alpha }},}$

avec égalité si et seulement si tous les ${\displaystyle x_{k}}$ sont égaux.

En effet, en supposant sans perte de généralité qu'aucun ${\displaystyle x_{k}}$ n'est nul et en notant ${\displaystyle t_{k}:=\alpha _{k}/\alpha }$ (strictement positifs et de somme ${\displaystyle 1}$), l'inégalité équivaut (voir supra) à

${\displaystyle t_{1}\ln x_{1}+\dots +t_{n}\ln x_{n}\leqslant \ln(t_{1}x_{1}+\dots +t_{n}x_{n})}$,

qui n'est autre que l'inégalité de Jensen générale pour la fonction (concave) logarithme, et le cas d'égalité provient de la stricte concavité.

Inégalité de Maclaurin

On peut également généraliser l'inégalité arithmético-géométrique en remarquant que la moyenne arithmétique correspond à la première fonction symétrique élémentaire, et la moyenne géométrique à la dernière. L'inégalité arithmético-géométrique se réécrit :

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {\sigma _{n}}{\displaystyle {\binom {n}{n}}}}}\leqslant {\sqrt[{1}]{\frac {\sigma _{1}}{\displaystyle {\binom {n}{1}}}}}}$

Et on peut généraliser :

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {\sigma _{n}}{\displaystyle {\binom {n}{n}}}}}\leqslant {\sqrt[{n-1}]{\frac {\sigma _{n-1}}{\displaystyle {\binom {n}{n-1}}}}}\leqslant \dots \leqslant {\sqrt[{1}]{\frac {\sigma _{1}}{\displaystyle {\binom {n}{1}}}}}}$

soit

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}\leqslant {\sqrt[{n-1}]{\frac {x_{1}\dots x_{n-1}+\dots +x_{2}\dots x_{n}}{n}}}\leqslant \dots \leqslant {\sqrt {\frac {x_{1}x_{2}+\dots +x_{n-1}x_{n}}{\displaystyle {\binom {n}{2}}}}}\leqslant {\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}}$

Ce sont les inégalités de Maclaurin.

Majoration de l'écart

Il existe une majoration de l'écart entre les deux moyennes^[6]:

${\displaystyle 0\leqslant {\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}-{\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}\leqslant {\frac {1}{n}}\sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}\left({\sqrt {x_{i}}}-{\sqrt {x_{j}}}\right)^{2}}$ ,

qui est une égalité pour ${\displaystyle n=2}$ : ${\displaystyle {\frac {x+y}{2}}-{\sqrt {xy}}={\frac {1}{2}}({\sqrt {x}}-{\sqrt {y}})^{2}}$.

Cette inégalité est une conséquence de l'inégalité de convexité de Vasile Cîrtoaje^[7]:

${\displaystyle (n-2)\sum _{i=1}^{n}f(a_{i})+nf\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right)\geqslant 2\sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}f\left({\frac {a_{i}+a_{j}}{2}}\right)}$

pour une fonction ${\displaystyle f}$ convexe, en prenant ${\displaystyle f=\exp }$ et ${\displaystyle a_{i}=\ln x_{i}}$.