Groupe de Higman-Sims

En mathématiques, le groupe de Higman–Sims est un groupe sporadique simple fini d'ordre    2⁹ · 3² · 5³ · 7 · 11 = 44 352 000. Il peut être caractérisé comme le sous-groupe simple d'indice 2 dans le groupe des automorphismes du graphe de Higman-Sims. Le graphe de Higman–Sims possède 100 sommets, donc le groupe de Higman-Sims, ou ${\displaystyle HS}$, a une représentation de permutation de degré 100.

${\displaystyle HS}$ est nommé ainsi en l'honneur des mathématiciens Donald G. Higman et Charles Sims, qui le découvrirent en 1967, alors qu'ils assistaient à une présentation par Marshall Hall du groupe de Hall-Janko (en), qui possède une représentation de degré 100, avec des orbites de cardinal 1, 36 et 63. Ils firent le rapprochement avec le groupe de Mathieu ${\displaystyle M_{22}}$, qui possède aussi une représentation de degré 100, avec des orbites de cardinal 1, 22 et 77. Le système de Steiner ${\displaystyle M_{22}}$ possède 77 blocs. Rapidement, ils trouvèrent ${\displaystyle HS}$, avec un stabilisateur d'un point isomorphe à ${\displaystyle M_{22}}$.

« Higman » peut aussi faire référence au mathématicien Graham Higman de l'université d'Oxford qui découvrit simultanément le groupe comme le groupe d'automorphismes d'une certaine « géométrie » sur 176 points. En conséquence, ${\displaystyle HS}$ possède une représentation doublement transitive de degré 176.

Rapport avec les groupes de Conway

Dans son article de 1968 maintenant classique, John Horton Conway montra comment le graphe de Higman-Sims pouvait être incorporé dans le réseau de Leech. Ici, ${\displaystyle HS}$ fixe un triangle 3-3-2 et un sous-réseau à 22 dimensions. Le groupe devient ainsi un sous-groupe de chaque groupe de Conway ${\displaystyle Co_{1}}$, ${\displaystyle Co_{2}}$ et ${\displaystyle Co_{3}}$. Ceci donne une manière explicite pour approcher les représentations à petites dimensions du groupe, et avec elle, un moyen direct pour le calcul à l'intérieur du groupe.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Higman–Sims group » (voir la liste des auteurs).
• (en) John H. Conway, « A Perfect Group of Order 8,315,553,613,086,720,000 and the sporadic simple groups », PNAS, vol. 61, n^o 2,‎ 1968, p. 398-400
• (en) John D. Dixon et Brian Mortimer, Permutation Groups, Springer-Verlag, 1996
• (en) Joseph Gallian, « The Search for Finite Simple Groups », Mathematics Magazine, vol. 49, n^o 4,‎ 1976, p. 163-179
• (en) D. G. Higman et C. C. Sims, « A simple group of order 44,352,000 », Math. Zeit., vol. 105,‎ 1968, p. 110-113 (lire en ligne)

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