Formule de Grassmann

En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, la formule de Grassmann exprime la dimension de la somme de deux sous-espaces vectoriels d'un même espace vectoriel. Plus précisément :

Formule de Grassmann — Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d'un même espace vectoriel E. Alors

${\displaystyle \dim(F)+\dim(G)=\dim(F+G)+\dim(F\cap G).}$

Si F et G sont de dimensions respectives finies, il en résulte que F + G aussi et que

${\displaystyle \dim(F+G)=\dim(F)+\dim(G)-\dim(F\cap G).}$

Deux démonstrations

• Les applications linéaires suivantes :${\displaystyle 0\to F\cap G\to F\times G\to F+G\to 0,}$où la deuxième application est ${\displaystyle x\mapsto (x,x)}$ et la troisième ${\displaystyle (x,y)\mapsto x-y}$, forment une suite exacte courte. Par conséquent, d'après le théorème du rang (même en dimension infinie) :${\displaystyle \dim(F\cap G)+\dim(F+G)=\dim(F\times G).}$La formule de Grassmann en résulte puisque dim(F×G) = dim(F) + dim(G).
• Une autre idée est de remarquer l'analogie de cette formule avec la suivante (valide même pour des ensembles infinis) et de l'en déduire :${\displaystyle {\text{card}}(A)+{\text{card}}(B)={\text{card}}(A\cup B)+{\text{card}}(A\cap B).}$Il suffit en effet, pour identifier terme à terme cette équation avec${\displaystyle \dim(F)+\dim(G)=\dim(F+G)+\dim(F\cap G),}$de choisir une base ${\displaystyle C}$ de ${\displaystyle F\cap G}$ et de la compléter en une base ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle F}$ d'une part et en une base ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle G}$ d'autre part : ${\displaystyle A\cup B}$ sera alors une base de ${\displaystyle F+G}$ et ${\displaystyle A\cap B}$ sera égal à la base ${\displaystyle C}$ de ${\displaystyle F\cap G.}$

Références

• (en) Michael Artin, Algebra [détail de l’édition], proposition 6.9, p. 103.
• (en) Serge Lang, Algebra, 1965 [détail des éditions], p. 92, exercice 6.

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Deuxième théorème d'isomorphisme

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