Le formalisme ADM [2] est une formulation hamiltonienne de la relativité générale développée en 1959 par Richard Arnowitt , Stanley Deser et Charles W. Misner . Elle joue un rôle important dans les domaines de la gravité quantique et de la relativité numérique (en) [3] .
Richard Arnowitt , Stanley Deser et Charles Misner lors de l'événement ADM-50: A Celebration of Current GR Innovation (2009), célébrant le cinquantième anniversaire de leur publication[1] .
Le formalisme est présenté en entier dans un chapitre de Gravitation: An introduction to current research (1962)[4] . Cette présentation a été publiée à nouveau en 2008 par la revue General Relativity and Gravitation (en) [5] .
Le cinquantième anniversaire du formalisme ADM a été célébré du 7 au 9 novembre 2009 à la Texas A&M University [6] .
Le formalisme ADM[7] est une formulation hamiltonienne de la relativité générale [8] . Il suppose que l'espace-temps est feuilleté en une famille d'hypersurfaces [7] de genre espace
Σ
t
{\displaystyle \Sigma _{t}}
, marquées par un temps
t
{\displaystyle t}
, et dont les coordonnées de chaque « tranche » sont données par
x
i
{\displaystyle x^{i}}
.
La décomposition requiert que la variété M soit globalement hyperbolique[9] .
Les variables dynamiques de cette théorie sont données par le tenseur métrique des coupes en 3-D
γ
i
j
(
t
,
x
k
)
{\displaystyle \gamma _{ij}(t,x^{k})}
ainsi que leur moment conjugué
π
i
j
(
t
,
x
k
)
{\displaystyle \pi ^{ij}(t,x^{k})}
. Le formalisme ADM est défini à l'aide de ces variables.
Le formalisme fait intervenir trois fonctions
{
α
,
β
i
,
γ
i
j
}
{\displaystyle \left\{\alpha ,\beta ^{i},\gamma _{ij}\right\}}
[10] , [N 1] des coordonnées
{
t
,
x
i
}
{\displaystyle \left\{t,x^{i}\right\}}
[10] :
α
{\displaystyle \alpha }
est un scalaire [11] dit la fonction laps[7] , [N 2] . Elle mesure le temps propre entre les coupes voisines[10] , [N 3] ;
β
i
{\displaystyle \beta ^{i}}
est un vecteur [11] dit le vecteur décalage[7] , [N 4] . Il mesure la vitesse relative entre les observateurs se déplaçant perpendiculairement aux coupes et les courbes de coordonnées spatiales constantes[N 5] ;
γ
i
j
{\displaystyle \gamma _{ij}}
est la métrique à trois dimensions[10] , [N 6] . Elle mesure les distances propres au sein de la coupe de constante
t
=
d
x
0
{\displaystyle t=\mathrm {d} x^{0}}
[10] , [N 7] .
Métrique ADM
Les trois fonctions permettent d'écrire la métrique comme suit[7] , [10] , [12] :
d
s
2
=
−
c
d
τ
2
=
−
(
α
2
−
β
i
β
i
)
c
2
d
t
2
+
2
β
i
c
d
t
d
x
i
+
γ
i
j
d
x
i
d
x
j
=
(
−
α
2
+
β
i
β
i
)
c
2
d
t
2
+
2
β
i
c
d
t
d
x
i
+
γ
i
j
d
x
i
d
x
j
=
−
α
2
c
2
d
t
2
+
γ
i
j
(
d
x
i
+
β
i
c
d
t
)
(
d
x
j
+
β
j
c
d
t
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} s^{2}=-c\mathrm {d} \tau ^{2}&=-\left(\alpha ^{2}-\beta _{i}\beta ^{i}\right)c^{2}\mathrm {d} t^{2}+2\beta _{i}c\mathrm {d} t\mathrm {d} x^{i}+\gamma _{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}\\&=\left(-\alpha ^{2}+\beta _{i}\beta ^{i}\right)c^{2}\mathrm {d} t^{2}+2\beta _{i}c\mathrm {d} t\mathrm {d} x^{i}+\gamma _{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}\\&=-\alpha ^{2}c^{2}\mathrm {d} t^{2}+\gamma _{ij}\left(\mathrm {d} x^{i}+\beta ^{i}c\mathrm {d} t\right)\left(\mathrm {d} x^{j}+\beta ^{j}c\mathrm {d} t\right)\end{aligned}}}
, où
c
{\displaystyle c}
est la vitesse de la lumière dans le vide ,
avec[13] :
g
00
=
−
α
2
+
β
i
β
i
,
g
0
i
=
β
i
,
g
i
j
=
γ
i
j
{\displaystyle g_{00}=-\alpha ^{2}+\beta _{i}\beta ^{i},\;g_{0i}=\beta _{i},\;g_{ij}=\gamma _{ij}}
,
g
00
=
−
1
α
2
,
g
0
i
=
β
i
α
2
,
g
i
j
=
γ
i
j
−
β
i
β
j
α
2
{\displaystyle g^{00}=-{\frac {1}{\alpha ^{2}}},\;g^{0i}={\frac {\beta ^{i}}{\alpha ^{2}}},\;g^{ij}=\gamma ^{ij}-{\frac {\beta ^{i}\beta ^{j}}{\alpha ^{2}}}}
,
et[14] :
−
g
=
α
h
{\displaystyle {\sqrt {-g}}=\alpha {\sqrt {h}}}
.
Une telle métrique est dite métrique ADM[15] , [16] , [17] .
La représentation matricielle d'une telle métrique est :
g
μ
ν
=
(
β
2
−
α
2
β
i
β
i
γ
i
j
)
{\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}\beta ^{2}-\alpha ^{2}&\beta _{i}\\\beta _{i}&\gamma _{ij}\end{pmatrix}}}
;
La formalisme permet de définir les grandeurs conservées d'un système isolé : l'énergie (ou la masse ), le moment linéaire (c'est-à-dire la quantité de mouvement ) et le moment angulaire (c'est-à-dire le moment cinétique )[18] .
Notes
Les trois fonctions
{
α
,
β
i
,
γ
i
j
}
{\displaystyle \left\{\alpha ,\beta ^{i},\gamma _{ij}\right\}}
sont aussi notées
{
N
,
N
i
,
h
i
j
}
{\displaystyle \left\{N,N^{i},h_{ij}\right\}}
[9] .
Autrement dit,
α
{\displaystyle \alpha }
mesure la différence entre le temps-coordonnée
t
{\displaystyle t}
et le temps propre
τ
{\displaystyle \tau }
sur des courbes normales aux hypersurfaces
Σ
t
{\displaystyle \Sigma _{t}}
[9] .
Autrement dit,
β
i
{\displaystyle \beta ^{i}}
mesure la différence entre un point
P
{\displaystyle P}
de l'espace et le point qu'on atteindrait si, au lieu de suivre
P
{\displaystyle P}
d'une hypersurface à la suivante, on suivait une courbe tangente à la normale
n
{\displaystyle n}
[9] .
Autrement dit,
γ
i
j
{\displaystyle \gamma _{ij}}
est la métrique induite, sur les hypersurfaces d'espace, par la métrique complète à quatre dimensions
g
μ
ν
{\displaystyle g_{\mu \nu }}
[9] .
Références
Christian Wüthrich (trad. Soazig Le Biha), À la recherche de l’espace-temps perdu : questions philosophiques concernant la gravité quantique (lire en ligne ) , chap. 10, p. 380
(en) R. Arnowitt, S. Deser, C. Misner, « Republication of: The dynamics of general relativity », General Relativity and Gravitation , vol. 40, no 9, 2008 , p. 1997–2027 (DOI 10.1007/s10714-008-0661-1 , Bibcode 2008GReGr..40.1997A , arXiv gr-qc/0405109 )
Hawke 2015 , part. V , chap. V.15 , sect. 2 , § 2.1 , p. 681, col. 1 .
[Carlip 2019] (en) Steven Carlip , General relativity : a concise introduction , Oxford, OUP , hors coll. , janvier 2019 , 1re éd. , XI -141 p. , 17,1 × 24,6 cm (ISBN 978-0-19-882215-8 et 978-0-19-882216-5 , EAN 9780198822158 , OCLC 1103604852 , DOI 10.1093/oso/9780198822158.001.0001 , S2CID 172051386 , SUDOC 233763201 , présentation en ligne , lire en ligne ) .
[Deruelle et Uzan 2018] (en) Nathalie Deruelle et Jean-Philippe Uzan (trad. du français par Patricia de Forcrand-Millard), Relativity in modern physics [« Théories de la relativité »], Oxford, OUP , coll. « Oxford graduate texts », août 2018 , 1re éd. , XI -691 p. , 17,1 × 24,6 cm (ISBN 978-0-19-878639-9 , EAN 9780198786399 , OCLC 1109749749 , BNF 45570670 , DOI 10.1093/oso/9780198786399.001.0001 , Bibcode 2018rmp..book.....D , S2CID 126350606 , SUDOC 229944329 , présentation en ligne , lire en ligne ) .
[Ellis, Maartens et MacCallum 2012] (en) George F. R. Ellis , Roy Maartens et Malcolm A. H. MacCallum , Relativistic cosmology , Cambridge, CUP , hors coll. , mars 2012 (réimpr. juin 2021 ), 1re éd. , XIV -622 p. , 15 × 23,5 cm (ISBN 978-0-521-38115-4 et 978-1-108-81276-4 , EAN 9780521381154 , OCLC 800513810 , BNF 43570408 , DOI 10.1017/CBO9781139014403 , Bibcode 2012reco.book.....E , SUDOC 160539528 , présentation en ligne , lire en ligne [ PDF] ) .
[Fazio, Rham et Tolley 2023] (en) Giovanni Fazio , Claudia de Rham et Andrew J. Tolley (éd.), The encyclopedia of cosmology, ensemble 2 : Frontiers in cosmology , vol. 1 : Modified gravity , Singapour, Hackensack et Londres, World Scientific , coll. « World Scientific series in astrophysics », novembre 2023 , 1re éd. , XIII -433 p. , 17,8 × 25,2 cm (ISBN 978-981-128-261-4 , EAN 9789811282614 , OCLC 10073441112 , DOI 10.1142/13578-vol1 , Bibcode 2023ecmg.book.....D , lire en ligne ) .
[Hawke 2015] (en) Ian Hawke , « Numerical relativity » , dans Nicholas J. Higham (éd.), The Princeton companion to applied mathematics , Princeton et Oxford, PUP , septembre 2015 , 1re éd. , XVII -994 p. , 26 cm (ISBN 978-0-691-15039-0 , EAN 9780691150390 , OCLC 923003755 , DOI 10.1515/9781400874477 , SUDOC 190115718 , présentation en ligne , lire en ligne ) , part. V , chap. V .15 , p. 680-687 .
[Laguna 2005] (en) Pablo Laguna , « Probing space-time through numerical simulations » , dans Abhay Ashtekar (éd. et préf. ), 100 years of relativity : space-time structure : Einstein and beyond , Singapour, World Scientific , hors coll. , novembre 2005 , 1re éd. , XVI -510 p. , 16,1 × 23,6 cm (ISBN 978-981-256-394-1 et 978-981-270-030-8 , EAN 9789812563941 , OCLC 64386077 , BNF 40158315 , DOI 10.1142/5876 , Bibcode 2005yrst.book.....A , S2CID 117298488 , SUDOC 098526456 , présentation en ligne , lire en ligne [ PDF] ) , IIe partie, chap. 6 , p. 152-174 .
[Maggiore 2018] (en) Michele Maggiore , Gravitational waves , t. II : Astrophysics and cosmology , Oxford, OUP , hors coll. , mars 2018 , 1re éd. , XIV -820 p. , 18,9 × 24,6 cm (ISBN 978-0-19-857089-9 , EAN 9780198570899 , OCLC 1030746535 , BNF 45338294 , DOI 10.1093/oso/9780198570899.001.0001 , Bibcode 2018gwv..book.....M , S2CID 126375843 , SUDOC 225716968 , présentation en ligne , lire en ligne ) .
[Renaux-Petel 2021] Sébastien Renaux-Petel , « Inflation cosmologique » , dans Richard Taillet (dir.), L'Univers jeune : cosmologie primordiale , Londres, ISTE , coll. « Encyclopédie / sciences / univers / cosmologie et relativité générale », septembre 2021 , 1re éd. , VIII -350 p. , 16 × 24,3 cm (ISBN 978-1-78948-032-0 , EAN 9781789480320 , OCLC 1280457061 , BNF 47060200 , SUDOC 258148616 , présentation en ligne , lire en ligne ) , chap. 3 , p. 175-265 .
[Santos-Pereira, Abreu et Ribeiro 2023] (en) Osvaldo L. Santos-Pereira , Everton M. C. Abreu et Marcelo B. Ribeiro , « Warp drive dynamic solutions considering different fluid sources » , dans Remo Ruffini et Gregory Vereshchagin (éd.), On recent developments in theoretical and experimental general relativity, astrophysics, and relativistic field theories , Singapour, Hackensack et Londres, World Scientific , coll. « The Marcel Grossmann meetings / proceeding series » (no 16), juillet 2023 , 1re éd. , LXXVI -4572 p. (ISBN 978-981-12-6976-9 , EAN 9789811269769 , OCLC 1346301941 , DOI 10.1142/13149 , Bibcode 2023mgm..conf.....R , présentation en ligne , lire en ligne [ PDF] ) , partie A, p. 840-855 .
[Vargas Moniz 2008] (en) Paulo Vargas Moniz , « Quantum cosmology standpoint » , dans Hagen Kleinert , Robert T. Jantzen et Remo Ruffini (éd.), The eleventh Marcel Grossmann meeting on recent developments in theoretical and experimental general relativity, gravitation and relativistic field theories , t. 1er : Part A , Singapour, Hackensack et Londres, World Scientific , septembre 2008 , 1re éd. , LXV -974 p. , 26 cm (ISBN 978-981-283-426-3 et 978-981-283427-0 , OCLC 494248658 , BNF 41318694 , DOI 10.1142/6997 , SUDOC 131407724 , présentation en ligne , lire en ligne ) , chap. 32 , p. 708-725 (DOI 10.1142/9789812834300_0032 , résumé ) .