Jacob Bergström est formé par l'un des clubs de sa ville natale, le FKKarlskrona (en). Il évolue dans les divisions inférieures du football suédois avec
février 2020, à l'occasion d'une rencontre de coupe de Suède face au FKKarlskrona (en). Titulaire, il ouvre le score mais les deux équipes se neutralisent
Malmö le 1er mars 2020, lors d'une rencontre de coupe de Suède face au FKKarlskrona (en). Titulaire, il participe à la victoire de son équipe par deux buts
football en troisième division suédoise avec l'Oskarshamns AIK puis le FKKarlskrona. Le 13 décembre 2017 est annoncé le transfert de Jesper Löfgren au Mjällby