Espace régulier

En mathématiques, un espace régulier est^[1] un espace topologique vérifiant les deux conditions de séparation suivantes^[2] :

• T₂ : l'espace est séparé ;
• T₃ : on peut séparer un point x et un fermé ne contenant pas x par deux ouverts disjoints.

Propriété T3

Le point x et le fermé F sont respectivement inclus dans les ouverts U et V, qui sont disjoints.

Soit E un espace topologique (non nécessairement séparé). Les propositions suivantes sont équivalentes :

• E est T₃ ;
• on peut séparer un point x et un fermé ne contenant pas x par deux ouverts d'adhérences disjointes ;
• tout point x admet une base de voisinages fermés (autrement dit : tout ouvert contenant x contient un voisinage fermé de x)^[1] ;
• tout fermé est l'intersection de ses voisinages fermés^[3].

La topologie grossière (sur n'importe quel ensemble) est T₃.

La propriété T₃ est (de même que T₂) préservée par sous-espaces et par produits.

Espace complètement régulier

Un espace topologique est dit complètement régulier s'il est uniformisable et séparé^[4]. Tout espace complètement régulier est régulier, car un espace X est uniformisable si et seulement si pour tout point x de X et tout fermé F de X ne contenant pas x, il existe une fonction continue de X dans le segment [0, 1] valant 0 en x et 1 sur F.

Par exemple, tout groupe topologique séparé est complètement régulier. Les espaces normaux et les espaces localement compacts sont complètement réguliers.