Conjugué

En mathématiques, le conjugué d'un nombre complexe z est le nombre complexe formé de la même partie réelle que z mais de partie imaginaire opposée.

Représentation géométrique (diagramme d'Argand) de z et de son conjugué z̅ dans le plan complexe. Le conjugué est obtenu par symétrie par l'axe des réels.

Définition

Le conjugué ${\displaystyle a-b{\rm {i}}}$ d'un nombre complexe ${\displaystyle z=a+b{\rm {i}}}$, où a et b sont nombres réels, est noté^[1],[2] ${\displaystyle {\bar {z}}}$ ou ${\displaystyle z^{*}}$. Dans le plan, le point d'affixe ${\displaystyle {\bar {z}}}$ est le symétrique du point d'affixe ${\displaystyle z\,}$ par rapport à l'axe des abscisses. Le module du conjugué reste inchangé.

On peut définir une application, appelée conjugaison, par

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {C} \\z&\longmapsto &{\overline {z}}\end{array}}}$

Cette application est ℝ-linéaire et continue. C'est de plus un automorphisme du corps ℂ.

Propriétés

On prend ${\displaystyle (z,w)\in \mathbb {C} ^{2}}$.

• ${\displaystyle {\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}}}$
• ${\textstyle {\overline {zw}}={\bar {z}}\times {\bar {w}}}$
• ${\displaystyle {\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\bar {z}}{\bar {w}}}}$ si w est non nul
• ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(z\right)=0}$ si et seulement si ${\displaystyle {\bar {z}}=z}$
• ${\displaystyle \left|{\bar {z}}\right|=\left|z\right|}$
• ${\displaystyle z{\overline {z}}=\left|z\right|^{2}}$
• ${\displaystyle z^{-1}={{\overline {z}} \over {\left|z\right|^{2}}}}$ pour z non nul.

Quaternions

Le conjugué du quaternion ${\displaystyle q=a+bi+cj+dk}$ est ${\displaystyle q^{*}=a-bi-cj-dk}$.

Propriété

• ${\displaystyle q\cdot q^{*}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\,}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}\cdot q^{*}\,}$
• On peut calculer aisément l'inverse d'un quaternion en utilisant les propriétés du quaternion conjugué.

Algèbre linéaire

L'opération de conjugaison peut s'étendre aux espaces vectoriels complexes et à leurs éléments. Elle permet de former des espaces vectoriels conjugués.

Notes et références

1. Norme ISO/CEI 80000-2 : z principalement en mathématiques, z* principalement en physique et sciences de l'ingénieur.
2. z se lit « z barre ».

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