Le théorème de Baker résout la conjecture de Gelfond. Publié par Alan Baker en 1966 et 1967[1], c'est un résultat de transcendance sur les logarithmes de nombres algébriques, qui généralise à la fois le théorème d'Hermite-Lindemann (1882) et le théorème de Gelfond-Schneider (1934).
Ce théorème a été adapté au cas des nombres p-adiques par Armand Brumer[2] ; le théorème de Brumer permet de démontrer la conjecture de Leopoldt dans le cas d'un corps de nombres abélien, suivant un article d'Ax[3].
Énoncé
On note L l'ensemble des « logarithmes de nombres algébriques (non nuls) », c'est-à-dire des nombres complexes dont l'exponentielle est un nombre algébrique[4], et ℚ le corps des nombres algébriques (la clôture algébrique du corps ℚ des rationnels).
Si n éléments λ1, …, λn de L sont ℚ-linéairement indépendants, alors les n + 1 éléments 1, λ1, …, λn sont ℚ-linéairement indépendants[5].
Par exemple, le théorème de Baker permet de montrer la transcendance de nombres comme x log(2) + y log(3) + z log(5) pour tous nombres algébriques x, y, z non tous nuls.
Extensions
Le théorème de Baker garantit l'indépendance linéaire sur ℚ de certains « logarithmes de nombres algébriques », ce qui est plus faible que leur indépendance algébrique. La généralisation suivante n'est toujours pas démontrée :
Conjecture d'indépendance algébrique des logarithmes[6],[7] — Si n éléments de L sont ℚ-linéairement indépendants, alors ils sont algébriquement indépendants.
C'est un cas particulier de la conjecture de Schanuel, mais « on ne sait même pas encore s'il existe deux nombres algébriquement indépendants parmi les logarithmes de nombres algébriques[7] ! ». En effet, le théorème de Baker exclut toute relation linéaire non triviale entre les logarithmes de nombres algébriques, mais le cas suivant le plus simple, qui est d'exclure toute relation quadratique homogène, a pour cas particulier la conjecture des quatre exponentielles[8], qui reste ouverte.
De même, on ne sait pas étendre le théorème de Brumer en une preuve d'indépendance algébrique (dans le cadre p-adique, donc en utilisant la fonction logarithme p-adique). Cela prouverait la conjecture de Leopoldt sur les rangs p-adiques des unités d'un corps de nombres quelconque.
Références
Articles connexes
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