Conjecture d'Erdős sur les progressions arithmétiques

En mathématiques, plus précisément en combinatoire arithmétique, la conjecture d’Erdős sur les progressions arithmétiques peut s’énoncer de la manière suivante.

Soit ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ une suite d’entiers strictement positifs ; si la série ${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {1}{x_{n}}}}$ diverge, alors pour tout entier positif ${\displaystyle N}$, on peut extraire de ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ une suite arithmétique de longueur ${\displaystyle N}$.

Elle généralise la conjecture d'Erdős-Turán qui, elle, a été résolue (et s'appelle désormais le théorème de Szemerédi).

Erdős a proposé un prix de 3 000 USD à qui prouvera cette conjecture^[1].

Le théorème de Green-Tao sur les suites arithmétiques de nombres premiers est un cas particulier de cette conjecture.

Historique

En 1936, Erdős et Turán énoncèrent la conjecture plus faible selon laquelle tout ensemble d'entiers avec une densité asymptotique positive contient un nombre infini de progressions arithmétiques à 3 termes^[2]. Elle fut démontrée par Klaus Roth en 1952, et généralisée à des progressions de longueur arbitraire par Szemerédi en 1975, résultat désormais connu sous le nom de théorème de Szemerédi.

Dans une conférence de 1976 intitulée « En mémoire de mon ami et collaborateur d'une vie, Pál Turán », Paul Erdős offrit un prix de 3000 $ pour une preuve de cette conjecture^[3] ; prix porté par la suite à 5000 $^[4].

Progrès et résultats liés

La conjecture d'Erdős était une tentative de généraliser la conjecture correspondante sur les suites de nombres premiers en progression arithmétique (la série des inverses des nombres premiers étant divergente). Cette conjecture plus faible est devenu en 2008 le théorème de Green-Tao^[5].

La conjecture plus faible selon laquelle la suite ${\displaystyle (x_{n})}$ doit contenir une infinité de progressions arithmétiques de longueur 3^[6] est désormais démontrée : c'est une conséquence d'une amélioration d'une des bornes du théorème de Roth, obtenue en 2020 par Bloom et Sisask^[5],[7] (Bloom avait déjà obtenu une amélioration de cette borne en 2016, mais encore insuffisante pour prouver la conjecture^[8]).

Bibliographie

• P. Erdős, « Résultats et problèmes en théorie de nombres », Séminaire Delange-Pisot-Poitou (Théorie des nombres), n^o 2., Exp. N° 24 (7 p.),‎ 14^e année : 1972/1973 (lire en ligne)
• (en) P. Erdős, « Problems in number theory and combinatorics », dans Proc. Sixth Manitoba Conf. on Num. Math., coll. « Congress Numer. » (n^o 18), 1977, p. 35-58
• (en) P. Erdős, « On the combinatorial problems which I would most like to see solved », Combinatorica, vol. 1,‎ 1981, p. 25-42 (DOI 10.1007/BF02579174)

Notes et références

1. (en) Béla Bollobás, « To Prove and Conjecture: Paul Erdős and His Mathematics », Amer. Math. Month., vol. 105, n^o 3,‎ mars 1988, p. 233.
2. Paul Erdős et Paul Turán, « On some sequences of integers », Journal of the London Mathematical Society, vol. 11, n^o 4,‎ 1936, p. 261–264 (DOI 10.1112/jlms/s1-11.4.261, lire en ligne).
3. Problems in number theory and Combinatorics, in Proceedings of the Sixth Manitoba Conference on Numerical Mathematics (Univ. Manitoba, Winnipeg, Man., 1976), Congress. Numer. XVIII, 35–58, Utilitas Math., Winnipeg, Man., 1977
4. p. 354, Soifer, Alexander (2008); The Mathematical Coloring Book: Mathematics of Coloring and the Colorful Life of its Creators; New York: Springer. (ISBN 978-0-387-74640-1)
5. Jean-Paul Delahaye, « À la recherche de l'ordre caché », Pour la Science, n^o 553,‎ novembre 2023.
6. Une seule progression suffit, car on réapplique alors le résultat à la suite tronquée à partir de cette progression
7. Thomas F. Bloom et Olof Sisask, « Breaking the logarithmic barrier in Roth's theorem on arithmetic progressions », arXiv,‎ 2020 (arXiv 2007.03528)
8. Thomas F. Bloom, « A quantitative improvement for Roth's theorem on arithmetic progressions », Journal of the London Mathematical Society, vol. 93, n^o 3,‎ 2016, p. 643–663 (DOI 10.1112/jlms/jdw010, MR 3509957, arXiv 1405.5800)

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Erdős conjecture on arithmetic progressions » (voir la liste des auteurs).

• Arithmétique et théorie des nombres