Champ équiprojectif

Dans un espace affine euclidien ${\displaystyle E}$, un champ de vecteurs ${\displaystyle ({\overrightarrow {V_{P}}})_{P\in E}}$ est équiprojectif^[1] si :

${\displaystyle \forall P\in E,\forall Q\in E,({\overrightarrow {V_{P}}}|{\overrightarrow {PQ}})=({\overrightarrow {V_{Q}}}|{\overrightarrow {PQ}})}$

où ${\displaystyle (\cdot |\cdot )}$ désigne le produit scalaire.

Il existe alors un endomorphisme antisymétrique ${\displaystyle u}$ tel que :

${\displaystyle \forall P\in E,\forall Q\in E,{\overrightarrow {V_{Q}}}={\overrightarrow {V_{P}}}+u({\overrightarrow {PQ)}}}$.

Cette notion est utilisée en physique, voir Équiprojectivité en physique.

Démonstration de l'existence de l'endomorphisme

Antisymétrie

Soit ${\displaystyle O}$ un point arbitraire de ${\displaystyle E}$. Pour tout vecteur ${\displaystyle {\overrightarrow {x}}}$, il existe un unique point ${\displaystyle P}$ tel que ${\displaystyle {\overrightarrow {x}}={\overrightarrow {OP}}}$ et on définit ${\displaystyle u}$ par ${\displaystyle u({\overrightarrow {x}})={\overrightarrow {V_{P}}}-{\overrightarrow {V_{O}}}}$.

Montrons que, pour tous vecteurs ${\displaystyle {\overrightarrow {x}}={\overrightarrow {OP}}}$ et ${\displaystyle {\overrightarrow {y}}={\overrightarrow {OQ}}}$, on a :

${\displaystyle (u({\overrightarrow {x}})|{\overrightarrow {y}})=-({\overrightarrow {x}}|u({\overrightarrow {y}}))}$

ce qui prouve l'antisymétrie de ${\displaystyle u}$^[2].

On a en effet :

${\displaystyle (u({\overrightarrow {x}})|{\overrightarrow {y}})=({\overrightarrow {V_{P}}}-{\overrightarrow {V_{O}}}|{\overrightarrow {OQ}})=({\overrightarrow {V_{P}}}|{\overrightarrow {OQ}})-({\overrightarrow {V_{O}}}|{\overrightarrow {OQ}})}$

${\displaystyle =({\overrightarrow {V_{P}}}|{\overrightarrow {OQ}})-({\overrightarrow {V_{Q}}}|{\overrightarrow {OQ}})}$ en utilisant l'équiprojectivité du champ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle =({\overrightarrow {V_{P}}}|{\overrightarrow {OP}}+{\overrightarrow {PQ}})-({\overrightarrow {V_{Q}}}|{\overrightarrow {OQ}})}$

${\displaystyle =({\overrightarrow {V_{P}}}|{\overrightarrow {OP}})+({\overrightarrow {V_{P}}}|{\overrightarrow {PQ}})-({\overrightarrow {V_{Q}}}|{\overrightarrow {OQ}})}$

${\displaystyle =({\overrightarrow {V_{P}}}|{\overrightarrow {OP}})+({\overrightarrow {V_{Q}}}|{\overrightarrow {PQ}})-({\overrightarrow {V_{Q}}}|{\overrightarrow {OQ}})}$ en utilisant de nouveau l'équiprojectivité.

Si on échange les rôles de ${\displaystyle {\overrightarrow {x}}}$ et ${\displaystyle {\overrightarrow {y}}}$, on obtiendra :

${\displaystyle ({\overrightarrow {x}}|u({\overrightarrow {y}}))=(u({\overrightarrow {y}})|{\overrightarrow {x}})=({\overrightarrow {V_{Q}}}|{\overrightarrow {OQ}})+({\overrightarrow {V_{P}}}|{\overrightarrow {QP}})-({\overrightarrow {V_{P}}}|{\overrightarrow {OP}})}$

On obtient bien :

${\displaystyle (u({\overrightarrow {x}})|{\overrightarrow {y}})=-({\overrightarrow {x}}|u({\overrightarrow {y}}))}$

Linéarité

On déduit de l'antisymétrie que ${\displaystyle u}$ est linéaire. En effet, pour tout ${\displaystyle {\overrightarrow {x}}}$, ${\displaystyle {\overrightarrow {y}}}$, ${\displaystyle \lambda }$, on a :

${\displaystyle \left(u\left(\lambda {\overrightarrow {x}}\right)|{\overrightarrow {y}}\right)=-(\lambda {\overrightarrow {x}}|u({\overrightarrow {y}}))=-\lambda ({\overrightarrow {x}}|u({\overrightarrow {y}}))=\lambda (u({\overrightarrow {x}})|{\overrightarrow {y}})=(\lambda u({\overrightarrow {x}})|{\overrightarrow {y}})}$

Cette égalité étant vraie pour tout ${\displaystyle {\overrightarrow {y}}}$, on en déduit que :

${\displaystyle u\left(\lambda {\overrightarrow {x}}\right)=\lambda u\left({\overrightarrow {x}}\right)}$

On procède de même pour montrer que :

${\displaystyle u({\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {x'}})=u({\overrightarrow {x}})+u({\overrightarrow {x'}})}$

Cas de la dimension 3, torseur

Dans une base orthonormée directe, ${\displaystyle u}$, étant un endomorphisme antisymétrique, possède une matrice antisymétrique^[1]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-c&b\\c&0&-a\\-b&a&0\\\end{pmatrix}}}$

Si on nomme ${\displaystyle {\overrightarrow {\Omega }}}$ le vecteur de composantes ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}}$, alors la matrice précédente est celle de l'application ${\displaystyle {\overrightarrow {x}}\mapsto {\overrightarrow {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {x}}}$.

On a donc ${\displaystyle \forall {\overrightarrow {x}},u({\overrightarrow {x}})={\overrightarrow {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {x}}}$ et donc

${\displaystyle {\overrightarrow {V_{Q}}}={\overrightarrow {V_{P}}}+{\overrightarrow {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {PQ}}}$

${\displaystyle ({\overrightarrow {V_{P}}})_{P\in E}}$ est le champ des moments d'un torseur de résultante ${\displaystyle {\overrightarrow {\Omega }}}$.

Exemple

L'exemple typique de champ équiprojectif en dimension 3 est le champ des vitesses d'un solide en mouvement. En effet, si ${\displaystyle P}$ et ${\displaystyle Q}$ sont deux points du solide, et si on note ${\displaystyle d}$ la distance entre ${\displaystyle P}$ et ${\displaystyle Q}$, on a :

${\displaystyle \|{\overrightarrow {PQ}}\|^{2}=d^{2}=\left({\overrightarrow {PQ}}|{\overrightarrow {PQ}}\right)}$

et en dérivant par rapport au temps :

${\displaystyle \left({\overrightarrow {V_{Q}}}-{\overrightarrow {V_{P}}}|{\overrightarrow {PQ}}\right)=0}$

où ${\displaystyle {\overrightarrow {V}}}$ désigne la vitesse en un point.

Le champ des vitesses est donc un torseur. Le vecteur ${\displaystyle {\overrightarrow {\Omega }}}$ s'appelle vecteur instantané de rotation.