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En mathématiques, une catégorie triangulée est une catégorie dotée d'une structure supplémentaire. De telles catégories ont été suggérées par Alexander Grothendieck et développées par Jean-Louis Verdier dans sa thèse de 1963 pour traiter les catégories dérivées.
La notion de t-structure, qui y est directement liée, permet de reconstruire (en un sens partiel) une catégorie à partir d'une catégorie dérivée.
Une catégorie triangulée est une catégorie additive C munie d'un « foncteur de translation additif », d'une collection de triangles (dits « triangles distingués ») et vérifiant un jeu d'axiomes[1] qui déterminent des contraintes sur quels triangles peuvent ou doivent être dits distingués.
Si on note T : C → C le foncteur de translation (parfois noté ), alors un triangle est un sextuplet constitué de trois objets et trois morphismes :
L'idée sous-jacente est que dans une telle catégorie, les triangles jouent un rôle analogue aux suites exactes.
Les axiomes de Verdier sont les suivants :
alors il existe un triangle distingué
qui vérifie les relations de commutation octaédriques.
Il existe plusieurs reformulations de ces axiomes, en particulier (TR4).
On a le phénomène suivant : différentes catégories abéliennes peuvent donner des catégories dérivées qui, elles, sont équivalentes. De fait, il est en général impossible de retrouver une catégorie à partir de sa dérivée. La notion de t-structure[2] donne une solution, forcément partielle, à cette situation.
Pour comprendre l'idée sous-jacente, considérons une catégorie abélienne A, et notons :
On a les faits suivants :
La définition d'une t-structure est calquée sur ces observations.
Une t-structure sur une catégorie triangulée D est une paire vérifiant les axiomes (TS1), (TS2a), (TS2b) et (TS3), et telle que
Une catégorie triangulée équipée d'une t-structure est appelée t-catégorie.
Le cœur d'une t-structure est la catégorie abélienne . Le cœur s'identifie à la catégorie A de départ, à quelques précautions près. En général, et c'est un des intérêts de cette approche, il a de bien meilleures propriétés qu'elles : c'est en particulier utile dans l'étude des faisceaux sur un espace avec singularités (au moyen des faisceaux pervers) et des catégories triangulées.
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