Arc sinus

En mathématiques, l’arc sinus d'un nombre réel compris (au sens large) entre −1 et 1 est l'unique mesure d'angle en radians dont le sinus vaut ce nombre, et comprise entre ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}$ et ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$.

Fonction arc sinus

Représentation graphique de la fonction arc sinus.

Notation	${\displaystyle \arcsin(x)}$
Réciproque	${\displaystyle \sin(x)}$ sur ${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$
Dérivée	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
Primitives	${\displaystyle x\arcsin(x)+{\sqrt {1-x^{2}}}+C}$

Principales caractéristiques

Ensemble de définition	[−1, 1]
Ensemble image	${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$
Parité	impaire

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La fonction qui associe à tout nombre réel compris au sens large entre −1 et 1 la valeur de son arc sinus est notée ${\displaystyle \arcsin }$ (${\displaystyle \operatorname {Arcsin} }$^[1] ou ${\displaystyle \operatorname {Asin} }$ en notation française, et ${\displaystyle \sin ^{-1}}$, parfois ${\displaystyle \operatorname {asin} }$ ou ${\displaystyle \operatorname {asn} }$ , en notation anglo-saxonne).

Il s'agit alors de la bijection réciproque de la restriction de la fonction trigonométrique sinus à l'intervalle ${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]}$. Elle fait partie des fonctions circulaires réciproques.

On a donc par définition :

${\displaystyle {\begin{cases}\theta =\arcsin x\\x\in [-1;1]\end{cases}}\Longleftrightarrow {\begin{cases}x=\sin \theta \\\theta \in \left[-{\dfrac {\pi }{2}};{\dfrac {\pi }{2}}\right]\end{cases}}}$.

Courbe représentative

Dans un repère cartésien orthonormé du plan, la courbe représentative de la fonction arc sinus est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction sinus à l'intervalle ${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]}$ par la réflexion d'axe la droite d'équation ${\displaystyle y=x}$.

Relations avec les fonctions circulaires directes

• ${\displaystyle \sin(\arcsin x)=x}$ pour ${\displaystyle x\in [-1;1]}$ ;
• ${\displaystyle \cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$ pour ${\displaystyle x\in [-1;1]}$ ;
• ${\displaystyle \tan(\arcsin x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ pour ${\displaystyle x\in \left]-1;1\right[}$.

Par contre, ${\displaystyle \arcsin(\sin x)=x}$ seulement pour ${\displaystyle x\in \left[-{\dfrac {\pi }{2}},{\dfrac {\pi }{2}}\right]}$.

La formule générale est ${\displaystyle \arcsin(\sin x)=(-1)^{k}(x-k\pi )}$ où ${\displaystyle k}$ est la partie entière de ${\displaystyle {\frac {x}{\pi }}+{\frac {1}{2}}}$.

Dérivée

Comme dérivée d'une bijection réciproque, ${\displaystyle \arcsin }$ est dérivable sur ${\displaystyle ]-1;1[}$ et vérifie : ${\displaystyle \arcsin 'x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$. Cette formule s'obtient grâce au théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque et à la relation : ${\displaystyle \cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$.

Développement en série entière

Si ${\displaystyle |x|\leqslant 1}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin x&=x+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\cdot {\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\cdot {\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\cdot {\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\dbinom {2n}{n}}x^{2n+1}}{4^{n}(2n+1)}}.\end{aligned}}}$

(Voir aussi Fonction hypergéométrique#Cas particuliers.)

Démonstration

Le développement de la dérivée est :

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin '(x)&=(1-x^{2})^{-{\frac {1}{2}}}\\&=1+\left(-{\frac {1}{2}}\right)(-x^{2})+{\frac {\left(-{\frac {1}{2}}\right)\left(-{\frac {3}{2}}\right)}{2}}(-x^{2})^{2}+{\frac {\left(-{\frac {1}{2}}\right)\left(-{\frac {3}{2}}\right)\left(-{\frac {5}{2}}\right)}{2\cdot 3}}(-x^{2})^{3}+\cdots \\&=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}x^{4}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}x^{6}+\cdots ,\end{aligned}}}$

d'où le résultat, en « intégrant » terme à terme.

Forme intégrale indéfinie

Cette fonction peut s'écrire sous la forme d'une intégrale indéfinie :

${\displaystyle \arcsin x=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t}$.

Primitives

Les primitives de l'arc sinus s'obtiennent par intégration par parties :

${\displaystyle \int \arcsin x\,\mathrm {d} x=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C}$.

Relation entre arc sinus et arc cosinus

Représentations graphiques d'${\displaystyle \arccos x}$ (en bleu) et d'${\displaystyle \arcsin x}$ (en rouge).

Pour tout réel ${\displaystyle x}$ entre −1 et 1 :${\displaystyle \arccos x+\arcsin x={\frac {\pi }{2}}}$.

Extension aux complexes

De la relation valable pour tout ${\displaystyle z}$ complexe : ${\displaystyle \sin z=-\mathrm {i} \sinh(\mathrm {i} z)}$, on déduit

${\displaystyle \arcsin z=-{\rm {i}}\operatorname {arsinh} ({\rm {i}}z)}$.

D'où l'expression de la fonction arc sinus avec un logarithme complexe :${\displaystyle \arcsin z=-{\rm {i}}\ln \left({\rm {i}}z+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)}$, valable pour ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \left]-\infty ,-1\right[\cup \left]1,+\infty \right[}$.

Le développement en série ${\displaystyle \arcsin z=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}{\frac {z^{2n+1}}{4^{n}(2n+1)}}}$ est alors valable pour tout ${\displaystyle z}$ dans le disque fermé de centre 0 et de rayon 1.