Les fonctions circulaires réciproques , ou fonctions trigonométriques inverses , sont les fonctions réciproques des fonctions circulaires , pour des intervalles de définition précis. Les fonctions réciproques des fonctions sinus , cosinus , tangente , cotangente , sécante et cosécante sont appelées arc sinus [alpha 1] arc cosinus , arc tangente , arc cotangente , arc sécante et arc cosécante .
Les fonctions circulaires réciproques servent à obtenir un angle à partir de l'une quelconque de ses lignes trigonométriques, mais aussi à expliciter les primitives de certaines fonctions. Elles sont largement utilisées dans l'ingénierie , la navigation , la physique et la géométrie .
Les noms des fonctions circulaires réciproques sont formés en faisant précéder du mot arc le nom de la fonction circulaire correspondante : arc sinus pour le sinus, arc cosinus pour le cosinus, etc.
Pour noter les fonctions circulaires réciproques on utilise différents symboles :
l'usage le plus répandu est de prendre le symbole de la fonction circulaire et de le faire précéder du préfixe arc- : arcsin(x ) pour l'arc sinus de x , arccos(x ) pour son arc cosinus, etc. Sauf mention spéciale ces symboles représentent les valeurs principales (cf. infra ) ;
dans les langages informatiques ces symboles sont souvent raccourcis en asin, acos, etc. (ou arsin, arcos, etc. ) ;
un autre usage consiste à mettre une majuscule initiale au nom de la fonction quand il s'agissait de la valeur principale, et de considérer le symbole sans majuscule comme représentant la fonction réciproque multivaluée . Selon cette notation, Arcsin(x ) par exemple est l'angle compris entre –π / 2 et +π / 2 dont le sinus vaut x , alors que arcsin(x ) représente n'importe quel angle dont le sinus vaut x ;
les textes en anglais[1] sin−1 , cos−1 , etc. Cette notation, introduite par John Herschel en 1813[2] composition des fonctions (la fonction réciproque d'une fonction f est souvent appelée inverse de f et notée f −1 sin2 (x ) et sin3 (x ) pour signifier [sin(x )]2 et [sin(x )]3 : on risque de confondre sin−1 (x ) avec [sin(x )]−1 c'est-à-dire 1 / sin(x )
Les fonctions circulaires n'étant pas injectives , leurs fonctions réciproques sont a priori multivaluées . Pour définir univoquement ces fonctions réciproques on doit restreindre chaque fonction circulaire à un intervalle sur lequel elle est bijective (branche principale ). La fonction réciproque correspondante est appelée détermination principale .
Davantage d’informations Nom, Notation usuelle ...
Nom
Notation usuelle
Définition
Domaine de définition Domaine image radians )Domaine imagedegrés )
arc sinus y = arcsin(x )x = sin (y )−1 ≤ x −π / 2 y π / 2 −90° ≤ y
arc cosinus y = arccos(x )x = cos (y )−1 ≤ x 0 ≤ y π 0 ≤ y
arc tangente y = arctan(x )x = tan (y )tous les nombres réels −π / 2 y π / 2 −90° < y
arc cotangente y = arccot(x )x = cot (y )tous les nombres réels
0 < y π 0 < y
arc sécante y = arcsec(x )x = sec (y )x x 0 ≤ y π / 2 π / 2 y π [alpha 2] 0 ≤ y y
arc cosécante y = arccsc(x )x = csc (y )x x −π / 2 y y π / 2 [alpha 2] −90° ≤ y y
Fermer
Si x nombre complexe (cf. infra ), alors le domaine image indiqué ci-dessus ne s'applique qu'à la partie réelle de y
Dans les formules ci-dessous, k désigne un entier quelconque.
x
=
sin
(
y
)
⇔
y
=
arcsin
(
x
)
+
2
π
k
ou
y
=
π
−
arcsin
(
x
)
+
2
π
k
{\displaystyle x=\sin(y)\;\Leftrightarrow \;y=\arcsin(x)+2\pi k\;{\text{ ou }}\;y=\pi -\arcsin(x)+2\pi k}
ou, en une seule formule :
x
=
sin
(
y
)
⇔
y
=
(
−
1
)
k
arcsin
(
x
)
+
π
k
{\displaystyle x=\sin(y)\;\Leftrightarrow \;y=(-1)^{k}\arcsin(x)+\pi k}
x
=
cos
(
y
)
⇔
y
=
arccos
(
x
)
+
2
π
k
ou
y
=
2
π
−
arccos
(
x
)
+
2
π
k
{\displaystyle x=\cos(y)\;\Leftrightarrow \;y=\arccos(x)+2\pi k\;{\text{ ou }}\;y=2\pi -\arccos(x)+2\pi k}
ou, en une seule formule :
x
=
cos
(
y
)
⇔
y
=
±
arccos
(
x
)
+
2
π
k
{\displaystyle x=\cos(y)\;\Leftrightarrow \;y=\pm \arccos(x)+2\pi k}
x
=
tan
(
y
)
⇔
y
=
arctan
(
x
)
+
π
k
{\displaystyle x=\tan(y)\;\Leftrightarrow \;y=\arctan(x)+\pi k}
x
=
cot
(
y
)
⇔
y
=
arccot
(
x
)
+
π
k
{\displaystyle x=\cot(y)\;\Leftrightarrow \;y=\operatorname {arccot}(x)+\pi k}
x
=
sec
(
y
)
⇔
y
=
arcsec
(
x
)
+
2
π
k
ou
y
=
2
π
−
arcsec
(
x
)
+
2
π
k
{\displaystyle x=\sec(y)\;\Leftrightarrow \;y=\operatorname {arcsec}(x)+2\pi k{\text{ ou }}y=2\pi -\operatorname {arcsec}(x)+2\pi k}
ou, en une seule formule :
x
=
sec
(
y
)
⇔
y
=
±
arcsec
(
x
)
+
2
π
k
{\displaystyle x=\sec(y)\;\Leftrightarrow \;y=\pm \operatorname {arcsec}(x)+2\pi k}
x
=
csc
(
y
)
⇔
y
=
arccsc
(
x
)
+
2
π
k
ou
y
=
π
−
arccsc
(
x
)
+
2
π
k
{\displaystyle x=\csc(y)\;\Leftrightarrow \;y=\operatorname {arccsc}(x)+2\pi k{\text{ ou }}y=\pi -\operatorname {arccsc}(x)+2\pi k}
ou, en une seule formule :
x
=
csc
(
y
)
⇔
y
=
(
−
1
)
k
arccsc
(
x
)
+
π
k
{\displaystyle x=\csc(y)\;\Leftrightarrow \;y=(-1)^{k}\operatorname {arccsc}(x)+\pi k}
Démonstration
Chacune des fonctions sinus , cosinus , sécante et cosécante est périodique de période 2π et prend deux fois chaque valeur sur une même période. Chacune des fonctions tangente et cotangente est périodique de période π et prend une fois chaque valeur sur une même période.
Le sinus est bijectif sur l'intervalle
[
−
π
2
,
π
2
]
{\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}
x
=
sin
(
y
)
⇒
y
=
arcsin
(
x
)
{\displaystyle x=\sin(y)\Rightarrow y=\arcsin(x)}
π / 2 sin(π–y ) = sin(y ) ), donc sur l'intervalle
[
π
2
,
3
π
2
]
{\displaystyle \left[{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right]}
x
=
sin
(
y
)
⇒
y
=
π
−
arcsin
(
x
)
{\displaystyle x=\sin(y)\Rightarrow y=\pi -\arcsin(x)}
[
−
π
2
,
3
π
2
]
{\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right]}
x
=
sin
(
y
)
⇒
y
=
arcsin
(
x
)
ou
y
=
π
−
arcsin
(
x
)
{\displaystyle x=\sin(y)\Rightarrow y=\arcsin(x)\;{\text{ ou }}\;y=\pi -\arcsin(x)}
périodique de période 2π , donc finalement
x
=
sin
(
y
)
⇒
y
=
arcsin
(
x
)
+
2
π
k
ou
y
=
π
−
arcsin
(
x
)
+
2
π
k
{\displaystyle x=\sin(y)\Rightarrow y=\arcsin(x)+2\pi k\;{\text{ ou }}\;y=\pi -\arcsin(x)+2\pi k}
Le cosinus est bijectif sur l'intervalle [0 ; π] , donc sur cet intervalle
x
=
cos
(
y
)
⇒
y
=
arccos
(
x
)
{\displaystyle x=\cos(y)\Rightarrow y=\arccos(x)}
π (c'est-à-dire,
cos
(
2
π
−
y
)
=
cos
(
y
)
{\displaystyle \cos(2\pi -y)=\cos(y)}
[
π
,
2
π
]
{\displaystyle \left[\pi ,2\pi \right]}
x
=
cos
(
y
)
⇒
y
=
2
π
−
arccos
(
x
)
{\displaystyle x=\cos(y)\Rightarrow y=2\pi -\arccos(x)}
[0 ; 2π]
x
=
cos
(
y
)
⇒
y
=
arccos
(
x
)
ou
y
=
2
π
−
arccos
(
x
)
{\displaystyle x=\cos(y)\Rightarrow y=\arccos(x)\;{\text{ ou }}\;y=2\pi -\arccos(x)}
périodique de période 2π , donc finalement
x
=
cos
(
y
)
⇒
y
=
arccos
(
x
)
+
2
π
k
ou
y
=
2
π
−
arccos
(
x
)
+
2
π
k
{\displaystyle x=\cos(y)\Rightarrow y=\arccos(x)+2\pi k\;{\text{ ou }}\;y=2\pi -\arccos(x)+2\pi k}
Pour la sécante, le raisonnement est le même que pour le cosinus.
Pour la cosécante, le raisonnement est le même que pour le sinus.
La tangente est bijective sur l'intervalle
]
−
π
2
,
π
2
[
{\displaystyle \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}
x
=
tan
(
y
)
⇒
y
=
arctan
(
x
)
{\displaystyle x=\tan(y)\Rightarrow y=\arctan(x)}
π , donc finalement
x
=
tan
(
y
)
⇒
y
=
arctan
(
x
)
+
π
k
{\displaystyle x=\tan(y)\;\Rightarrow \;y=\arctan(x)+\pi k}
Pour la cotangente, le raisonnement est le même que pour la tangente.
Le tableau ci-dessous indique le résultat des fonctions circulaires appliquées aux fonctions circulaires réciproques. On retrouve facilement ces valeurs en considérant un triangle rectangle dont un côté a la longueur x [alpha 3]
Graphe cartésien des valeurs principales d'arcsin(x ) (en rouge) et d'arccos(x ) (en bleu), en fonction de x Graphe cartésien des valeurs principales d'arctan(x ) (en rouge) et d'arccot(x ) (en bleu), en fonction de x Graphe cartésien des valeurs principales d'arcsec(x ) (en rouge) et d'arccsc(x ) (en bleu), en fonction de x
arccos
(
x
)
=
π
2
−
arcsin
(
x
)
arccot
(
x
)
=
π
2
−
arctan
(
x
)
arccsc
(
x
)
=
π
2
−
arcsec
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\arccos(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x)\\[0.5em]\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\\[0.5em]\operatorname {arccsc}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec}(x)\end{aligned}}}
arcsin
(
−
x
)
=
−
arcsin
(
x
)
arccos
(
−
x
)
=
π
−
arccos
(
x
)
arctan
(
−
x
)
=
−
arctan
(
x
)
arccot
(
−
x
)
=
π
−
arccot
(
x
)
arcsec
(
−
x
)
=
π
−
arcsec
(
x
)
arccsc
(
−
x
)
=
−
arccsc
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(-x)&=-\arcsin(x)\\\arccos(-x)&=\pi -\arccos(x)\\\arctan(-x)&=-\arctan(x)\\\operatorname {arccot}(-x)&=\pi -\operatorname {arccot}(x)\\\operatorname {arcsec}(-x)&=\pi -\operatorname {arcsec}(x)\\\operatorname {arccsc}(-x)&=-\operatorname {arccsc}(x)\end{aligned}}}
Arguments inverses
arccos
(
1
x
)
=
arcsec
(
x
)
arcsin
(
1
x
)
=
arccsc
(
x
)
arctan
(
1
x
)
=
π
2
−
arctan
(
x
)
=
arccot
(
x
)
,
si
x
>
0
arctan
(
1
x
)
=
−
π
2
−
arctan
(
x
)
=
arccot
(
x
)
−
π
,
si
x
<
0
arccot
(
1
x
)
=
π
2
−
arccot
(
x
)
=
arctan
(
x
)
,
si
x
>
0
arccot
(
1
x
)
=
3
π
2
−
arccot
(
x
)
=
π
+
arctan
(
x
)
,
si
x
<
0
arcsec
(
1
x
)
=
arccos
(
x
)
arccsc
(
1
x
)
=
arcsin
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arcsec}(x)\\[0.3em]\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccsc}(x)\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)=\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ si }}x>0\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)=\operatorname {arccot}(x)-\pi \,,{\text{ si }}x<0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)=\arctan(x)\,,{\text{ si }}x>0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)=\pi +\arctan(x)\,,{\text{ si }}x<0\\[0.3em]\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arccos(x)\\[0.3em]\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arcsin(x)\end{aligned}}}
Les formules ci-dessous sont utiles, soit quand on dispose d'une table incomplète (par exemple, pour la première, quand la table ne liste que des arguments inférieurs à ½), soit pour simplifier des formules obtenues lors d'un calcul de primitives (quand on rencontre l'un des seconds membres indiqués).
arccos
(
x
)
=
arcsin
(
1
−
x
2
)
,
si
0
≤
x
≤
1
arccos
(
x
)
=
1
2
arccos
(
2
x
2
−
1
)
,
si
0
≤
x
≤
1
arcsin
(
x
)
=
1
2
arccos
(
1
−
2
x
2
)
,
si
0
≤
x
≤
1
arctan
(
x
)
=
arcsin
(
x
x
2
+
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\arccos(x)&=\arcsin \left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,,{\text{ si }}0\leq x\leq 1\\\arccos(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(2x^{2}-1\right)\,,{\text{ si }}0\leq x\leq 1\\\arcsin(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(1-2x^{2}\right)\,,{\text{ si }}0\leq x\leq 1\\\arctan(x)&=\arcsin \left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right)\end{aligned}}}
Quand l'une de ces formules fait intervenir la racine carrée d'un nombre complexe (ou d'un nombre réel négatif), la racine choisie est celle qui a une partie réelle positive (ou une partie imaginaire positive).
arcsin
(
x
)
=
2
arctan
(
x
1
+
1
−
x
2
)
arccos
(
x
)
=
2
arctan
(
1
−
x
2
1
+
x
)
,
si
−
1
<
x
≤
+
1
arctan
(
x
)
=
2
arctan
(
x
1
+
1
+
x
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}\right)\\[0.5em]\arccos(x)&=2\arctan \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}}\right)\,,{\text{ si }}-1<x\leq +1\\[0.5em]\arctan(x)&=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}\right)\end{aligned}}}
Démonstrations
La formule de la « tangente de l'arc moitié » est :
tan
(
θ
2
)
=
sin
(
θ
)
1
+
cos
(
θ
)
{\displaystyle \tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {\sin(\theta )}{1+\cos(\theta )}}}
On peut l'écrire :
tan
(
θ
2
)
=
sin
(
θ
)
1
+
1
−
sin
2
(
θ
)
=
1
−
cos
2
(
θ
)
1
+
cos
(
θ
)
=
tan
(
θ
)
1
+
1
+
tan
2
(
θ
)
{\displaystyle \tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {\sin(\theta )}{1+{\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}}}={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}(\theta )}}{1+\cos(\theta )}}={\frac {\tan(\theta )}{1+{\sqrt {1+\tan ^{2}(\theta )}}}}}
ou :
θ
=
2
arctan
[
sin
(
θ
)
1
+
1
−
sin
2
(
θ
)
]
=
2
arctan
[
1
−
cos
2
(
θ
)
1
+
cos
(
θ
)
]
=
2
arctan
[
tan
(
θ
)
1
+
1
+
tan
2
(
θ
)
]
{\displaystyle \theta =2\arctan \left[{\frac {\sin(\theta )}{1+{\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}}}\right]=2\arctan \left[{\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}(\theta )}}{1+\cos(\theta )}}\right]=2\arctan \left[{\frac {\tan(\theta )}{1+{\sqrt {1+\tan ^{2}(\theta )}}}}\right]}
On obtient bien les formules indiquées en posant, soit x = sin(θ )x = cos(θ )x = tan(θ )θ égale, soit arcsin(x ) , soit arccos(x ) , soit arctan(x ) ).
Addition des arcs tangente
Si
u
v
≠
1
{\displaystyle uv\neq 1}
arctan
u
+
arctan
v
≡
arctan
u
+
v
1
−
u
v
mod
π
{\displaystyle \arctan u+\arctan v\equiv \arctan {\frac {u+v}{1-uv}}\mod \pi }
Les formules ci-dessous sont valables pour z
d
d
z
arcsin
(
z
)
=
1
1
−
z
2
;
z
≠
−
1
,
+
1
d
d
z
arccos
(
z
)
=
−
1
1
−
z
2
;
z
≠
−
1
,
+
1
d
d
z
arctan
(
z
)
=
1
1
+
z
2
;
z
≠
−
i
,
+
i
d
d
z
arccot
(
z
)
=
−
1
1
+
z
2
;
z
≠
−
i
,
+
i
d
d
z
arcsec
(
z
)
=
1
z
2
1
−
1
z
2
;
z
≠
−
1
,
0
,
+
1
d
d
z
arccsc
(
z
)
=
−
1
z
2
1
−
1
z
2
;
z
≠
−
1
,
0
,
+
1
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\arcsin(z)&{}={\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\;;&z&{}\neq -1,+1\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\arccos(z)&{}=-{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\;;&z&{}\neq -1,+1\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\arctan(z)&{}={\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -\mathrm {i} ,+\mathrm {i} \\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {arccot}(z)&{}=-{\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -\mathrm {i} ,+\mathrm {i} \\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {arcsec}(z)&{}={\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\;;&z&{}\neq -1,0,+1\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {arccsc}(z)&{}=-{\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\;;&z&{}\neq -1,0,+1\end{aligned}}}
Démonstration
Le calcul de ces dérivées est facile à retrouver. Pour l'arc sinus par exemple, on pose θ = arcsin(x )
d
arcsin
(
x
)
d
x
=
d
θ
d
sin
(
θ
)
=
d
θ
cos
(
θ
)
d
θ
=
1
cos
(
θ
)
=
1
1
−
sin
2
(
θ
)
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \arcsin(x)}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} \sin(\theta )}}={\frac {\mathrm {d} \theta }{\cos(\theta )\mathrm {d} \theta }}={\frac {1}{\cos(\theta )}}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
Les formules ci-dessous ne sont valables que pour x réel.
d
d
x
arcsec
(
x
)
=
1
|
x
|
x
2
−
1
;
|
x
|
>
1
d
d
x
arccsc
(
x
)
=
−
1
|
x
|
x
2
−
1
;
|
x
|
>
1
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arcsec}(x)&{}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\;;&|x|>1\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arccsc}(x)&{}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\;;&|x|>1\end{aligned}}}
En intégrant les dérivées ci-dessus on peut exprimer les fonctions circulaires sous la forme d'intégrales définies de fonctions algébriques :
arcsin
(
x
)
=
∫
0
x
1
1
−
z
2
d
z
,
|
x
|
≤
1
arccos
(
x
)
=
∫
x
1
1
1
−
z
2
d
z
,
|
x
|
≤
1
arctan
(
x
)
=
∫
0
x
1
z
2
+
1
d
z
,
arccot
(
x
)
=
∫
x
∞
1
z
2
+
1
d
z
,
arcsec
(
x
)
=
∫
1
x
1
z
z
2
−
1
d
z
=
π
+
∫
x
−
1
1
z
z
2
−
1
d
z
,
x
≥
1
arccsc
(
x
)
=
∫
x
∞
1
z
z
2
−
1
d
z
=
∫
−
∞
x
1
z
z
2
−
1
d
z
,
x
≥
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,\mathrm {d} z\;,&|x|&{}\leq 1\\\arccos(x)&{}=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,\mathrm {d} z\;,&|x|&{}\leq 1\\\arctan(x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{z^{2}+1}}\,\mathrm {d} z\;,\\\operatorname {arccot}(x)&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\,\mathrm {d} z\;,\\\operatorname {arcsec}(x)&{}=\int _{1}^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,\mathrm {d} z=\pi +\int _{x}^{-1}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,\mathrm {d} z\;,&x&{}\geq 1\\\operatorname {arccsc}(x)&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,\mathrm {d} z=\int _{-\infty }^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,\mathrm {d} z\;,&x&{}\geq 1\\\end{aligned}}}
Quand x arcsin(x ) , arccos(x ) , arcsec(x ) et arccsc(x ) sont impropres mais convergent correctement.
Comme les fonctions circulaires, les fonctions circulaires réciproques sont développables en séries entières :
arcsin
z
=
z
+
1
2
⋅
z
3
3
+
1
⋅
3
2
⋅
4
⋅
z
5
5
+
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
⋅
z
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
2
n
−
1
)
!
!
(
2
n
)
!
!
⋅
z
2
n
+
1
2
n
+
1
;
|
z
|
≤
1
{\displaystyle \arcsin z=z+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\cdot {\frac {z^{5}}{5}}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\cdot {\frac {z^{7}}{7}}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\cdot {\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1}
arctan
z
=
z
−
z
3
3
+
z
5
5
−
z
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
z
2
n
+
1
2
n
+
1
;
|
z
|
≤
1
z
≠
i
,
−
i
{\displaystyle \arctan z=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq \mathrm {i} ,-\mathrm {i} }
Pour développer en série les autres fonctions circulaires réciproques il suffit d'utiliser leurs relations ( voir supra ) : arccos(x ) = π / 2 x ) , arccsc(x ) = arcsin(1/x ) , etc. .
Un développement du carré de l'arc sinus est[3] :
arcsin
2
(
x
)
=
1
2
∑
n
=
1
∞
(
2
x
)
2
n
n
2
(
2
n
n
)
{\displaystyle \arcsin ^{2}(x)={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2x)^{2n}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}}
Un autre développement de l'arc tangente, plus efficace numériquement que la série entière, a été obtenu par Euler [alpha 4] :
arctan
z
=
z
1
+
z
2
∑
n
=
0
∞
∏
k
=
1
n
2
k
z
2
(
2
k
+
1
)
(
1
+
z
2
)
{\displaystyle \arctan z={\frac {z}{1+z^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {2kz^{2}}{(2k+1)(1+z^{2})}}}
On peut donner une variante du développement précédent :
arctan
z
=
∑
n
=
0
∞
2
2
n
(
n
!
)
2
(
2
n
+
1
)
!
z
2
n
+
1
(
1
+
z
2
)
n
+
1
{\displaystyle \arctan z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}\;{\frac {z^{2n+1}}{(1+z^{2})^{n+1}}}}
On connaît deux développements de l'arc tangente en fraction continue généralisée , le premier obtenu par Euler et le second par Gauss (à l'aide des fonctions hypergéométriques ) :
arctan
(
z
)
=
z
1
+
(
1
z
)
2
3
−
1
z
2
+
(
3
z
)
2
5
−
3
z
2
+
(
5
z
)
2
7
−
5
z
2
+
(
7
z
)
2
9
−
7
z
2
+
⋱
=
z
1
+
(
1
z
)
2
3
+
(
2
z
)
2
5
+
(
3
z
)
2
7
+
(
4
z
)
2
9
+
⋱
{\displaystyle \arctan(z)={\frac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3-1z^{2}+{\cfrac {(3z)^{2}}{5-3z^{2}+{\cfrac {(5z)^{2}}{7-5z^{2}+{\cfrac {(7z)^{2}}{9-7z^{2}+\ddots }}}}}}}}}}={\frac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3+{\cfrac {(2z)^{2}}{5+{\cfrac {(3z)^{2}}{7+{\cfrac {(4z)^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}}
Le développement de Gauss est valable pour des nombres complexes , à l'exception des imaginaires purs de module supérieur ou égal à 1. Il est surtout efficace pour les nombres réels compris entre −1 et +1.
Primitives
Pour z réel ou complexe :
∫
arcsin
(
z
)
d
z
=
z
arcsin
(
z
)
+
1
−
z
2
+
C
∫
arccos
(
z
)
d
z
=
z
arccos
(
z
)
−
1
−
z
2
+
C
∫
arctan
(
z
)
d
z
=
z
arctan
(
z
)
−
1
2
ln
(
1
+
z
2
)
+
C
∫
arccot
(
z
)
d
z
=
z
arccot
(
z
)
+
1
2
ln
(
1
+
z
2
)
+
C
∫
arcsec
(
z
)
d
z
=
z
arcsec
(
z
)
−
ln
[
z
(
1
+
z
2
−
1
z
2
)
]
+
C
∫
arccsc
(
z
)
d
z
=
z
arccsc
(
z
)
+
ln
[
z
(
1
+
z
2
−
1
z
2
)
]
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \arcsin(z)\,\mathrm {d} z&{}=z\,\arcsin(z)+{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arccos(z)\,\mathrm {d} z&{}=z\,\arccos(z)-{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arctan(z)\,\mathrm {d} z&{}=z\,\arctan(z)-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot}(z)\,\mathrm {d} z&{}=z\,\operatorname {arccot}(z)+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec}(z)\,\mathrm {d} z&{}=z\,\operatorname {arcsec}(z)-\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\\\int \operatorname {arccsc}(z)\,\mathrm {d} z&{}=z\,\operatorname {arccsc}(z)+\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\end{aligned}}}
Pour x :
∫
arcsec
(
x
)
d
x
=
x
arcsec
(
x
)
−
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
+
C
∫
arccsc
(
x
)
d
x
=
x
arccsc
(
x
)
+
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,\mathrm {d} x&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,\mathrm {d} x&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\end{aligned}}}
Pour x valeur absolue supérieure à 1 :
∫
arcsec
(
x
)
d
x
=
x
arcsec
(
x
)
−
sgn
(
x
)
ln
(
|
x
+
x
2
−
1
|
)
+
C
∫
arccsc
(
x
)
d
x
=
x
arccsc
(
x
)
+
sgn
(
x
)
ln
(
|
x
+
x
2
−
1
|
)
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,\mathrm {d} x&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {sgn}(x)\ln \left(\left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|\right)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,\mathrm {d} x&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {sgn}(x)\ln \left(\left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|\right)+C\end{aligned}}}
Dans les expressions ci-dessus la valeur absolue (|•|) est due au signe variable de l'arc sécante et de l'arc cosécante, et la fonction signe (sgn) aux valeurs absolues des dérivées de ces deux fonctions, ce qui conduit à des expressions différentes selon le signe de x fonctions hyperboliques réciproques :
∫
arcsec
(
x
)
d
x
=
x
arcsec
(
x
)
−
arcosh
(
|
x
|
)
+
C
∫
arccsc
(
x
)
d
x
=
x
arccsc
(
x
)
+
arcosh
(
|
x
|
)
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\end{aligned}}}
Démonstrations
On obtient les primitives ci-dessus par la méthode d'intégration par parties
∫
u
d
v
=
u
v
−
∫
v
d
u
{\displaystyle \int u\,\mathrm {d} v=uv-\int v\,\mathrm {d} u}
:
u
=
arcsin
(
x
)
d
v
=
d
x
d
u
=
d
x
1
−
x
2
v
=
x
{\displaystyle {\begin{aligned}u&=\arcsin(x)&\mathrm {d} v&=\mathrm {d} x\\\mathrm {d} u&={\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}&v&=x\end{aligned}}}
Alors :
∫
arcsin
(
x
)
d
x
=
x
arcsin
(
x
)
−
∫
x
1
−
x
2
d
x
,
{\displaystyle \int \arcsin(x)\,\mathrm {d} x=x\arcsin(x)-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x,}
ce qui donne, par le changement de variable t = 1 – x 2 :
∫
arcsin
(
x
)
d
x
=
x
arcsin
(
x
)
+
1
−
x
2
+
C
{\displaystyle \int \arcsin(x)\,\mathrm {d} x=x\arcsin(x)+{\sqrt {1-x^{2}}}+C}
Étant développables en série entière , les fonctions circulaires réciproques sont analytiques , c'est-à-dire que leur ensemble de définition (la droite des nombres réels) peut être étendu au plan complexe . Ces fonctions étant fondamentalement multivaluées , leurs extensions au plan complexe ont de multiples feuillets et points de branchement .
On peut ainsi définir l'arc tangente par :
arctan
(
z
)
=
∫
0
z
d
x
1
+
x
2
z
≠
−
i
,
+
i
{\displaystyle \arctan(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\mathrm {d} x}{1+x^{2}}}\quad z\neq -\mathrm {i} ,+\mathrm {i} }
La coupure entre le feuillet principal et les autres feuillets est constituée par les deux demi-droites portant les imaginaires purs de module supérieur ou égal à 1.
On définit les autres fonctions circulaires réciproques à l'aide des relations entre ces fonctions :
arcsin
(
z
)
=
arctan
(
z
1
−
z
2
)
z
≠
−
1
,
+
1
{\displaystyle \arcsin(z)=\arctan \left({\frac {z}{\sqrt {1-z^{2}}}}\right)\quad z\neq -1,+1}
arccos
(
z
)
=
π
2
−
arcsin
(
z
)
z
≠
−
1
,
+
1
{\displaystyle \arccos(z)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(z)\quad z\neq -1,+1}
arccot
(
z
)
=
π
2
−
arctan
(
z
)
z
≠
−
i
,
i
{\displaystyle \operatorname {arccot}(z)={\frac {\pi }{2}}-\arctan(z)\quad z\neq -\mathrm {i} ,\mathrm {i} }
arcsec
(
z
)
=
arccos
(
1
z
)
z
≠
−
1
,
0
,
+
1
{\displaystyle \operatorname {arcsec}(z)=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\quad z\neq -1,0,+1}
arccsc
(
z
)
=
arcsin
(
1
z
)
z
≠
−
1
,
0
,
+
1
{\displaystyle \operatorname {arccsc}(z)=\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\quad z\neq -1,0,+1}
La coupure de l'arc sinus est constituée par les deux demi-droites portant les réels de valeur absolue supérieure ou égale à 1.
L'arc cosinus a la même coupure que l'arc sinus, et l'arc cotangente la même que l'arc tangente. L'arc sécante et l'arc cosécante ont pour coupure le segment réel [−1 ; +1] .
Les fonctions circulaires réciproques peuvent être exprimées sous la forme de logarithmes complexes :
arcsin
(
z
)
=
−
i
ln
(
i
z
+
1
−
z
2
)
=
arccsc
(
1
z
)
arccos
(
z
)
=
−
i
ln
(
z
+
i
1
−
z
2
)
=
π
2
+
i
ln
(
i
z
+
1
−
z
2
)
=
π
2
−
arcsin
(
z
)
=
arcsec
(
1
z
)
arctan
(
z
)
=
1
2
i
[
ln
(
1
−
i
z
)
−
ln
(
1
+
i
z
)
]
=
arccot
(
1
z
)
arccot
(
z
)
=
1
2
i
[
ln
(
1
−
i
z
)
−
ln
(
1
+
i
z
)
]
=
arctan
(
1
z
)
arcsec
(
z
)
=
−
i
ln
(
1
z
2
−
1
+
1
z
)
=
i
ln
(
1
−
1
z
2
+
i
z
)
+
π
2
=
π
2
−
arccsc
(
z
)
=
arccos
(
1
z
)
arccsc
(
z
)
=
−
i
ln
(
1
−
1
z
2
+
i
z
)
=
arcsin
(
1
z
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(z)&{}=-\mathrm {i} \ln \left(\mathrm {i} z+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)&{}=\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arccos(z)&{}=-\mathrm {i} \ln \left(z+\mathrm {i} {\sqrt {1-z^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}\,+\mathrm {i} \ln \left(\mathrm {i} z+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(z)&{}=\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arctan(z)&{}={\frac {1}{2}}\mathrm {i} \left[\ln \left(1-\mathrm {i} z\right)-\ln \left(1+\mathrm {i} z\right)\right]&{}=\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccot}(z)&{}={\frac {1}{2}}\mathrm {i} \left[\ln \left(1-{\frac {\mathrm {i} }{z}}\right)-\ln \left(1+{\frac {\mathrm {i} }{z}}\right)\right]&{}=\arctan \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arcsec}(z)&{}=-\mathrm {i} \ln \left({\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}-1}}+{\frac {1}{z}}\right)=\mathrm {i} \,\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {\mathrm {i} }{z}}\right)+{\frac {\pi }{2}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccsc}(z)&{}=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccsc}(z)&{}=-\mathrm {i} \ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {\mathrm {i} }{z}}\right)&{}=\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\end{aligned}}}
Triangle rectangle
Triangle trigonométrique : relations entre un angle et les côtés du triangle. Les fonctions circulaires réciproques permettent d'exprimer un angle d'un triangle rectangle en fonction de deux des côtés :
θ
=
arcsin
(
côté opposé
hypoténuse
)
=
arccos
(
côté adjacent
hypoténuse
)
=
arctan
(
côté opposé
côté adjacent
)
=
arccot
(
côté adjacent
côté opposé
)
=
arcsec
(
hypoténuse
côté adjacent
)
=
arccsc
(
hypoténuse
côté opposé
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=\arcsin \left({\frac {\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}}\right)=\arccos \left({\frac {\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}}\right)\\&=\arctan \left({\frac {\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}}\right)=\operatorname {arccot} \left({\frac {\text{côté adjacent}}{\text{côté opposé}}}\right)\\&=\operatorname {arcsec} \left({\frac {\text{hypoténuse}}{\text{côté adjacent}}}\right)=\operatorname {arccsc} \left({\frac {\text{hypoténuse}}{\text{côté opposé}}}\right)\end{aligned}}}
ou, avec les notations de la figure ci-contre :
θ
=
arcsin
(
a
c
)
=
arccos
(
b
c
)
=
arctan
(
a
b
)
=
arccot
(
b
a
)
=
arcsec
(
c
b
)
=
arccsc
(
c
a
)
{\displaystyle \theta =\arcsin \left({\frac {a}{c}}\right)=\arccos \left({\frac {b}{c}}\right)=\arctan \left({\frac {a}{b}}\right)=\operatorname {arccot} \left({\frac {b}{a}}\right)=\operatorname {arcsec} \left({\frac {c}{b}}\right)=\operatorname {arccsc} \left({\frac {c}{a}}\right)}
L'arc tangente à deux arguments, de symbole usuel atan2 , est une variante de l'arc tangente initialement introduite dans les langages informatiques (Fortran , notamment). Pour x et y réels et non tous les deux nuls, atan2(y ,x ) est, dans un repère orthonormé , l'angle polaire du point d'abscisse x et d'ordonnée y . Autrement dit, c'est l'argument du nombre complexe x + iy :
le domaine image d'atan2 est [–π , π] alors que celui de l'arc tangente est [–π/2 , π/2] : atan2(–y ,–x ) et atan2(y ,x ) diffèrent de π alors que
arctan
(
−
y
−
x
)
=
arctan
(
y
x
)
{\displaystyle \arctan \left({\tfrac {-y}{-x}}\right)=\arctan \left({\tfrac {y}{x}}\right)}
;
quand x = 0π / 2 π / 2 y ) alors que la plupart des langages informatiques ne permettent pas de coder un argument infini. Plus généralement, atan2(y ,x ) se comporte bien numériquement quand |x | << |y | alors que ce n'est pas le cas de arctan(y /x ) . Calculs de primitives
Pour intégrer une fonction rationnelle R (x )x réelle ) on la décompose en éléments simples :
R
(
x
)
=
T
+
F
1
+
…
+
F
p
+
G
1
+
…
+
G
q
e
t
{
T
est un polynôme de
x
F
i
=
a
i
,
1
x
−
z
i
+
a
i
,
2
(
x
−
z
i
)
2
+
…
+
a
i
,
n
i
(
x
−
z
i
)
n
i
G
j
=
b
j
,
1
x
+
c
j
,
1
x
2
−
β
j
x
+
γ
j
+
b
j
,
2
x
+
c
j
,
2
(
x
2
−
β
j
x
+
γ
j
)
2
+
…
+
b
j
,
m
j
x
+
c
j
,
m
j
(
x
2
−
β
j
x
+
γ
j
)
m
j
{\displaystyle R(x)=T+F_{1}+\ldots +F_{p}+G_{1}+\ldots +G_{q}\quad {\rm {et}}\quad {\begin{cases}T&{\text{est un polynôme de }}x\\F_{i}&={\frac {a_{i,1}}{x-z_{i}}}+{\frac {a_{i,2}}{(x-z_{i})^{2}}}+\ldots +{\frac {a_{i,n_{i}}}{(x-z_{i})^{n_{i}}}}\\G_{j}&={\frac {b_{j,1}x+c_{j,1}}{x^{2}-\beta _{j}x+\gamma _{j}}}+{\frac {b_{j,2}x+c_{j,2}}{(x^{2}-\beta _{j}x+\gamma _{j})^{2}}}+\ldots +{\frac {b_{j,m_{j}}x+c_{j,m_{j}}}{(x^{2}-\beta _{j}x+\gamma _{j})^{m_{j}}}}\end{cases}}}
où les trinômes x 2 – βj x + γj discriminant négatif : Δ = βj 2 – 4γj < 0 ). Ensuite :
le terme T (partie entière ) s'intègre directement en donnant un autre polynôme ;
les termes Fi (éléments simples de première espèce) s'intègrent directement (le résultat mêle fonctions rationnelles et logarithmes ) ;
par un changement de variable simple (linéaire) x → u
b
j
,
m
x
+
c
j
,
m
(
x
2
−
β
j
x
+
γ
j
)
m
{\displaystyle {\frac {b_{j,m}x+c_{j,m}}{(x^{2}-\beta _{j}x+\gamma _{j})^{m}}}}
u
(
u
2
+
1
)
m
{\displaystyle {\frac {u}{(u^{2}+1)^{m}}}}
1
(
u
2
+
1
)
m
{\displaystyle {\frac {1}{(u^{2}+1)^{m}}}}
:
u
(
u
2
+
1
)
m
{\displaystyle {\frac {u}{(u^{2}+1)^{m}}}}
l'intégration de
1
(
u
2
+
1
)
m
{\displaystyle {\frac {1}{(u^{2}+1)^{m}}}}
:
∫
1
u
2
+
1
d
u
=
arctan
(
u
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{u^{2}+1}}\mathrm {d} u=\arctan(u)+C}
∫
1
(
u
2
+
1
)
2
d
u
=
1
2
[
u
u
2
+
1
+
arctan
(
u
)
]
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{(u^{2}+1)^{2}}}\mathrm {d} u={\frac {1}{2}}\left[{\frac {u}{u^{2}+1}}+\arctan(u)\right]+C}
∫
1
(
u
2
+
1
)
3
d
u
=
1
8
[
u
(
3
u
2
+
5
)
(
u
2
+
1
)
2
+
3
arctan
(
u
)
]
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{(u^{2}+1)^{3}}}\mathrm {d} u={\frac {1}{8}}\left[{\frac {u(3u^{2}+5)}{(u^{2}+1)^{2}}}+3\arctan(u)\right]+C}
, etc.
Notes
La logique de cette dénomination est la suivante : l'arc sinus de x est l'arc (l'angle) dont le sinus est x .
Certains auteurs définissent le domaine image de l'arc sécante comme (0 ≤ y π / 2 π ≤ y 3π / 2 tangente est non-négative dans ce domaine. Cette définition rend certains calculs plus cohérents. On obtient par exemple tan(arcsec(x )) = √ x 2 − 1 , alors qu'avec le domaine image (0 ≤ y π / 2 π / 2 y π ) on doit écrire tan(arcsec(x )) = ±√ x 2 − 1 , vu que la tangente est non-négative sur 0 ≤ y π / 2 π / 2 y π . Pour la même raison, ces mêmes auteurs définissent le domaine image de l'arc cosécante comme −π < y π / 2 y π / 2 On retrouve aussi ces résultats par un calcul algébrique, mais c'est plus long.
(en) Arthur Graham Hall et Fred Goodrich Frink, chap. II « The Acute Angle [14] Inverse trigonometric functions » , dans Trigonometry , Ann Arbor, Michigan, USA, Henry Holt and Company / Norwood Press / J. S. Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Norwood, Massachusetts, USA, janvier 1909 (lire en ligne ) , I: Plane Trigonometry, p. 15(en) John Frederick William Herschel, « On a remarkable Application of Cotes's Theorem », Philosophical Transactions vol. 103, no 1, 1813 , p. 8 (lire en ligne ) Voir (en) Jonathan Borwein , David Bailey et Roland Gingersohn, Experimentation in Mathematics : Computational Paths to Discovery , Wellesley, MA, A K Peters, 2004 , 368 p. (ISBN 978-1-4398-6419-7 lire en ligne ) , p. 51formule de Clausen (en) cet exercice corrigé . 
![{\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54381f086ac9ffe8306d413f813abcb616e95dee)
![{\displaystyle \left[{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26152ad398a15a8a36f2c187cb4c59e26bd8acc9)
![{\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba6b8ac5c07ae11c2b8c9ced50a2998a969c5adb)
![{\displaystyle \left[\pi ,2\pi \right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202bfdaee27c2814c533d9db4da57a4657e5e09b)
![{\displaystyle \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6b123273d134ae0a355186bca3947bf36996ceb)
, 
...
, 
...
![{\displaystyle \sin[\arcsin(x)]=x}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55d296120c5d8f4580ad6a0baf90fa1a6c68d78b)
![{\displaystyle \cos[\arcsin(x)]={\sqrt {1-x^{2}}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b240f40208fa696aa6a6541f07097c3c323604f)
![{\displaystyle \tan[\arcsin(x)]={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35f9ce679263ce5306237e3342d22abeb3d9d346)
![{\displaystyle \sin[\arccos(x)]={\sqrt {1-x^{2}}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adc672948bcc9d3e7a29ea92dc148d28a2995750)
![{\displaystyle \cos[\arccos(x)]=x}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9d5691af1ed2de3248e08dbaf90a24a80c1c816)
![{\displaystyle \tan[\arccos(x)]={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22e131c5707de0e5ab51c45a4c518f8b137ffb99)
![{\displaystyle \sin[\arctan(x)]={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d3ed8cedb4c73b01b65314a15152647c9000086)
![{\displaystyle \cos[\arctan(x)]={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2e67d269ac585855446bba315fc260582bc38be)
![{\displaystyle \tan[\arctan(x)]=x}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cce6eb07f518600a0482bf70afc6255c7c4d6c7)
![{\displaystyle \sin[\operatorname {arccsc}(x)]={\frac {1}{x}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/914fec550b7d5f3aeb6e70ce4504bfa3836c890b)
![{\displaystyle \cos[\operatorname {arccsc}(x)]={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfc5acc1f8885df647f54b3a6d2440d3bb57c10f)
![{\displaystyle \tan[\operatorname {arccsc}(x)]={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8909ceef7cc4639517594e68a1da4802eeae055)
![{\displaystyle \sin[\operatorname {arcsec}(x)]={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c83d29f75d3e634ecb4bf2191db64b1f3fc2fb4)
![{\displaystyle \cos[\operatorname {arcsec}(x)]={\frac {1}{x}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64b0147f3cee08c6c6c99dce7f7d940c9c2dd298)
![{\displaystyle \tan[\operatorname {arcsec}(x)]={\sqrt {x^{2}-1}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a78e2bc8678e75a60f379541e9b7d8d5991cbdfc)
![{\displaystyle \sin[\operatorname {arccot}(x)]={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e26378e3dfe44093d073acd71d8a004f8b8da602)
![{\displaystyle \cos[\operatorname {arccot}(x)]={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eece114389f8c37dece613cc7c49f1bf53e6238d)
![{\displaystyle \tan[\operatorname {arccot}(x)]={\frac {1}{x}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d89b1f5913f7c0a096e0d5456601c3b3180bf4b5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\arccos(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x)\\[0.5em]\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\\[0.5em]\operatorname {arccsc}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec}(x)\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec43798232f580abb074cf15f3d77692edd36af0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arcsec}(x)\\[0.3em]\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccsc}(x)\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)=\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ si }}x>0\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)=\operatorname {arccot}(x)-\pi \,,{\text{ si }}x<0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)=\arctan(x)\,,{\text{ si }}x>0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)=\pi +\arctan(x)\,,{\text{ si }}x<0\\[0.3em]\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arccos(x)\\[0.3em]\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arcsin(x)\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d25addaa5a8307e47a21c0edde3c4bddd5e0587)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}\right)\\[0.5em]\arccos(x)&=2\arctan \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}}\right)\,,{\text{ si }}-1<x\leq +1\\[0.5em]\arctan(x)&=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}\right)\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce9408b32d956b7ddc25b5bccec78ffdcee87045)
![{\displaystyle \theta =2\arctan \left[{\frac {\sin(\theta )}{1+{\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}}}\right]=2\arctan \left[{\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}(\theta )}}{1+\cos(\theta )}}\right]=2\arctan \left[{\frac {\tan(\theta )}{1+{\sqrt {1+\tan ^{2}(\theta )}}}}\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5332b53ebe35dd16fe36ef1e9647796a54e4293)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int \arcsin(z)\,\mathrm {d} z&{}=z\,\arcsin(z)+{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arccos(z)\,\mathrm {d} z&{}=z\,\arccos(z)-{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arctan(z)\,\mathrm {d} z&{}=z\,\arctan(z)-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot}(z)\,\mathrm {d} z&{}=z\,\operatorname {arccot}(z)+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec}(z)\,\mathrm {d} z&{}=z\,\operatorname {arcsec}(z)-\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\\\int \operatorname {arccsc}(z)\,\mathrm {d} z&{}=z\,\operatorname {arccsc}(z)+\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8eae536783c4b5b658abd9bbce121697089c34b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(z)&{}=-\mathrm {i} \ln \left(\mathrm {i} z+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)&{}=\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arccos(z)&{}=-\mathrm {i} \ln \left(z+\mathrm {i} {\sqrt {1-z^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}\,+\mathrm {i} \ln \left(\mathrm {i} z+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(z)&{}=\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arctan(z)&{}={\frac {1}{2}}\mathrm {i} \left[\ln \left(1-\mathrm {i} z\right)-\ln \left(1+\mathrm {i} z\right)\right]&{}=\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccot}(z)&{}={\frac {1}{2}}\mathrm {i} \left[\ln \left(1-{\frac {\mathrm {i} }{z}}\right)-\ln \left(1+{\frac {\mathrm {i} }{z}}\right)\right]&{}=\arctan \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arcsec}(z)&{}=-\mathrm {i} \ln \left({\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}-1}}+{\frac {1}{z}}\right)=\mathrm {i} \,\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {\mathrm {i} }{z}}\right)+{\frac {\pi }{2}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccsc}(z)&{}=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccsc}(z)&{}=-\mathrm {i} \ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {\mathrm {i} }{z}}\right)&{}=\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16b7c9d2293b6a4a0f3bb64c9c83e1a135ae1b58)
![{\displaystyle \int {\frac {1}{(u^{2}+1)^{2}}}\mathrm {d} u={\frac {1}{2}}\left[{\frac {u}{u^{2}+1}}+\arctan(u)\right]+C}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/623d735f907118b70cf4bd6b63c9d11a40e25f9e)
![{\displaystyle \int {\frac {1}{(u^{2}+1)^{3}}}\mathrm {d} u={\frac {1}{8}}\left[{\frac {u(3u^{2}+5)}{(u^{2}+1)^{2}}}+3\arctan(u)\right]+C}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66cde8072ef4968fe9efbe5256b9e7b58de3eaca)
