Annulateur (théorie des modules)

En théorie des anneaux, l'annulateur d'une partie S d'un module à gauche M sur un anneau A est l'ensemble :

${\displaystyle \operatorname {Ann} (S)=\{\alpha \in A\mid \forall x\in S\quad \alpha x=0\}}$^[1].

Ann(S) est un idéal à gauche de A.

Si S est un sous-module de M, Ann(S) est même un idéal bilatère.

En effet^[1], si ${\displaystyle \alpha \in \operatorname {Ann} (S)}$ et ${\displaystyle \beta \in A}$, alors ${\displaystyle (\alpha \beta )S=\alpha (\beta S)\subset \alpha S=\{0\}}$. Alternativement, on peut remarquer^[2] que Ann(S) n'est autre que le noyau du morphisme d'anneaux ${\displaystyle A\to \operatorname {End} (S)}$ qui définit la loi externe du module S.

Un élément x de M est dit simple si ${\displaystyle \forall \alpha \in A\quad \alpha x=0\Rightarrow \alpha =0}$, autrement dit si Ann({x}) = {0}.^{[réf. nécessaire]}

Notes et références

1. N. Bourbaki, Algèbre, chapitres 1 à 3 (lire en ligne), II.28.
2. (en) Frank W. Anderson et Kent R. Fuller, Rings and Categories of Modules, Springer, coll. « GTM » (n^o 13), 1974 (lire en ligne), p. 35.

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