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L'angle d’or est un angle valant fois l'angle plat soit environ 137,51°. Il est lié au nombre d'or.
En géométrie, l'angle d'or est l'angle sous-tendu par le plus petit des deux arcs créés en divisant la circonférence c d'un cercle en deux sections dont les longueurs a et b sont dans un rapport égal au nombre d'or φ.
En conséquence:
L'angle d'or, sous-tendu par l'arc de cercle b, mesure en radians :
Comme l'arc intersecté par cet angle et la circonférence du cercle sont proportionnels :
Il mesure en degrés :
L'angle d'or rentrant, sous-tendu par l'arc de cercle a, mesure en radians :
Il mesure en degrés :
On retrouve cet angle à plusieurs reprises dans la nature[1]. Par exemple, les écailles des pommes de pin , ou les fleurons du tournesol[2] sont disposées le long de spirales logarithmiques, deux écailles ou fleurons successifs formant un angle d'or avec le centre de la spirale[3]. Apparaissent alors des spirales secondaires dont le nombre est toujours un élément de la suite de Fibonacci. Stéphane Durand explique que cette disposition correspond à l'optimisation de l'occupation de l'espace dans le plan[4]. Il existe des exposés détaillés de ce phénomène[5],[6].
L’imagerie à résonance magnétique (IRM) utilise plusieurs méthodes d'échantillonnage. L'une d'elles, radiale avec incrémentation d'une valeur nommée « angle d'or », utilise la valeur 111,25°[7],[8]
D'après la formule de Binet exprimant les nombres de Fibonacci : où , on a quand n tend vers l'infini.
On en déduit que tend vers 0 et que donc les multiples successifs de l'angle d'or rentrant par les nombres de Fibonacci tendent vers l'angle nul (et de même pour l'angle d'or (sortant)).
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