Loading AI tools
En mathématiques, une algèbre est dite unitaire ou unifère si elle possède un élément neutre pour la multiplication interne ×, c’est-à-dire un élément 1 tel que la propriété 1×x = x×1 = x soit observée pour tous les éléments x de l’algèbre. Cet élément neutre l’étant à gauche et à droite, il est unique.
Cet article est une ébauche concernant l’algèbre.
Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.
Pour les articles homonymes, voir Algèbre (homonymie).
Si l’algèbre est en outre associative, cela est équivalent à dire que l’algèbre est un monoïde pour la multiplication.
On rappelle qu’une algèbre E possède trois lois de composition (sans compter les deux lois de l’anneau commutatif A sur lequel est établie l’algèbre) :
- une addition interne + (somme vectorielle), de E×E dans E ;
- une multiplication interne ×, de E×E dans E ;
- une multiplication externe ⋅ (multiplication par un scalaire), de A×E dans E.
En supposant E unitaire et en notant 1E son élément neutre, on a alors :
- ∀λ∈A, ∀x∈E, λ⋅x = λ⋅(1E×x) = (λ⋅1E)×x.
En identifiant chaque scalaire λ de A au vecteur λ⋅1E de E, on peut alors identifier la multiplication externe par le scalaire λ à la multiplication interne par le vecteur λ⋅1E. L’identification de ces deux lois de composition permet alors d’identifier les algèbres unitaires à des anneaux unitaires (non nécessairement associatifs (en)), lesquels n’ont que deux lois internes.
Un exemple typique est celui des nombres hypercomplexes, traités soit comme des algèbres unitaires soit comme de simples anneaux unitaires (non nécessairement associatifs) selon les circonstances.
Wikiwand in your browser!
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.
