Tipi de Cantor

En mathématiques, le tipi de Cantor, ou éventail de Knaster-Kuratowski^[1], est un espace topologique particulier : il est connexe mais quand on le prive de son sommet, il devient totalement discontinu.

Le tipi de Cantor, ou éventail de Knaster–Kuratowski

Définition

Soient

• C l'ensemble de Cantor,
• p le point (1/2, 1/2) du plan ℝ² et
• pour tout élément c de C, X(c) l'ensemble des points situés sur le segment de droite qui relie (c, 0) à p et dont l'ordonnée est
  • rationnelle si c est une extrémité de l'un des intervalles supprimés lors de la construction de l'ensemble de Cantor,
  • irrationnelle sinon.

L'éventail de Knaster-Kuratowski, de sommet p, est la réunion Y des X(c) quand c parcourt C (vue comme partie du plan munie de la topologie induite).

Le sous-espace Y\{p} est totalement discontinu, mais pas « totalement séparé » : deux points situés sur un même X(c) ne sont pas séparés par un ouvert-fermé^[2],[3]. Sa dimension topologique est 1^[4].