Tipi de Cantor

En mathématiques, le tipi de Cantor, ou éventail de Knaster-Kuratowski^[1], est un espace topologique particulier : il est connexe mais quand on le prive de son sommet, il devient totalement discontinu.

Le tipi de Cantor, ou éventail de Knaster–Kuratowski

Définition

Soient

• C l'ensemble de Cantor,
• p le point (1/2, 1/2) du plan ℝ² et
• pour tout élément c de C, X(c) l'ensemble des points situés sur le segment de droite qui relie (c, 0) à p et dont l'ordonnée est
  • rationnelle si c est une extrémité de l'un des intervalles supprimés lors de la construction de l'ensemble de Cantor,
  • irrationnelle sinon.

L'éventail de Knaster-Kuratowski, de sommet p, est la réunion Y des X(c) quand c parcourt C (vue comme partie du plan munie de la topologie induite).

Le sous-espace Y\{p} est totalement discontinu, mais pas « totalement séparé » : deux points situés sur un même X(c) ne sont pas séparés par un ouvert-fermé^[2],[3]. Sa dimension topologique est 1^[4].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Knaster–Kuratowski fan » (voir la liste des auteurs).

1. Bronisław Knaster et Kazimierz Kuratowski, « Sur les ensembles connexes », Fundamenta Mathematicae, vol. 2, 1921, p. 206-255 : p. 233
2. (en) Lynn Arthur Steen et J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, Dover, 1995 (1^re éd. Springer, 1978) (ISBN 978-0-486-68735-3), contre-exemples 128 et 129.
3. (en) Dennis Pixton, Totally disconnected and zero dimensional metric spaces, Math 479 - Spring 2011, Real Analysis II, Binghamton University.
4. (en) Keio Nagami, Dimension theory, Academic Press, 1970, 256 p. (ISBN 978-0-12-513650-1, lire en ligne), p. 54, exemple 9.12.

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