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expression d'une division d'un entier relatif appelé numérateur par un entier naturel non nul appelé dénominateur De Wikipédia, l'encyclopédie libre
Pour les articles homonymes, voir Fraction.
En mathématiques, une fraction est un moyen d'écrire un nombre rationnel sous la forme d'un quotient de deux entiers. La fraction ab désigne le quotient de a par b (b≠0). Dans cette fraction, a est appelé le numérateur et b le dénominateur. Une fraction représente un partage, le dénominateur représente le nombre de parts égales faites dans une unité et son numérateur représente le nombre de parts prises dans l'unité
La fraction 568 est équivalente au nombre 7 car 7 × 8 = 56, donc le quotient de 56 par 8 est 7.
Un nombre que l'on peut représenter par des fractions de nombres entiers est appelé nombre rationnel. L'ensemble des rationnels est noté ℚ.
Il existe une définition plus générale et plus abstraite des fractions. Si est un anneau intègre, on peut créer le corps des fractions de A. Ses éléments se notent (par analogie aux fractions d'entiers relatifs) et possèdent les mêmes propriétés opératoires (somme, produit, simplification…) que les fractions de ℚ.
Une fraction est une division non effectuée entre deux nombres entiers relatifs n et d ≠ 0[réf. nécessaire]. Elle est représentée comme suit :
Exemple : 37 signifie que l'on divise 3 par 7 ; on prononce cette fraction « trois septièmes ».
Si on mange les 37 d'une tarte, le numérateur 3 indique le nombre de parts que l'on mange alors que 7 indique le nombre total de parts, donc l'unité considérée.
On trouve aussi les notations
où les deux-points montrent l'intention d'exprimer un rapport, ou encore
où l'obélus remplace la barre de fraction, mais exprimant l'opération de division elle-même (bien que cet usage soit déconseillé[1],[2]).
La notation utilisant la barre de fraction serait due à Abu Bakr al-Hassar[3], mais aurait été introduite en occident par Fibonacci[4]. C'est le Suisse Rahn qui introduit l'obélus en 1659.
Si la notion de fraction est une étape importante de la compréhension mathématique à un niveau élémentaire, elle n'a guère d'usage dans une théorie générale.
Le Dictionnaire des mathématiques définit la fraction comme « synonyme de nombre rationnel »[5].
Cette définition présente plusieurs inconvénients. Chacun convient que 34 est une fraction, et que 68 est une autre fraction, qui désigne cependant le même nombre rationnel. L'égalité du rationnel que désigne la fraction ne saute pas toujours aux yeux, comme pour 57 ÷ 437 et 3 ÷ 23. La définition limite aussi au cas où numérateur et dénominateur sont des entiers. Mais on emploie couramment la même notation avec des nombres réels, comme π2 ou √32 ; ces expressions obéissent aux mêmes règles de combinaison et de simplification que les fractions.
En France, les autorités de l'enseignement définissent ainsi la fraction : « si a et b désignent deux entiers (a ∈ , b ∈ ), la fraction a/b est l'écriture d'un être mathématique appelé rationnel, mais n'est pas un être mathématique ; l'écriture a s'appelle « numérateur », l'écriture b « dénominateur » ; la barre, horizontale ou oblique, s'appelle un « trait de fraction » et équivaut à un signe de division »[6].
Cette définition soulève aussi quelques difficultés pédagogiques. Si la fraction était une simple écriture, on ne pourrait en faire un des termes d'une opération sur des nombres. On doit pourtant comprendre l'expression 12 + 14 = 34[7].
Stella Baruk propose de diminuer ces difficultés en prenant soin de parler de fractions équivalentes quand elles désignent le même nombre rationnel et d'écriture fractionnelle quand le numérateur ou le dénominateur n'est pas un nombre entier, et que par conséquent, il ne s'agit pas d'une fraction[8].Pour comprendre et établir les règles de maniement des fractions, il existe deux méthodes différentes. La première consiste à faire usage de la géométrie. La fraction représente une portion d'aire d'une figure géométrique ou d'une longueur d'un côté d'un polygone, souvent un triangle. Démontrer les lois régissant les fractions revient à faire de la géométrie et à mesurer des aires ou des longueurs. Cette démarche est décrite dans l'article Algèbre géométrique.
Une autre démarche est de nature purement algébrique. Les nombres rationnels sont construits de manière abstraite à partir de classes d'équivalence d'entiers. L'addition et la multiplication issues des nombres entiers sont compatibles avec la classe d'équivalence, ce qui équipe l'ensemble des fractions d'une addition et d'une multiplication naturelles. Cette construction permet d'établir les lois régissant le comportement des fractions.
La démarche choisie ici correspond à la première décrite et est purement géométrique. Les méthodes utilisées s'appliquent pour les fractions d'entiers. La géométrie offre une autre méthode, permettant de généraliser les résultats au cas de fractions de deux nombres réels positifs. Elle est décrite dans l'article Algèbre géométrique.
Le but ici est de visualiser une fraction n/d.
La fraction peut être représentée par un dessin. Bien souvent une forme géométrique que l'on divise en plusieurs parties.
Le dénominateur d indique le nombre de parties égales à découper dans la forme géométrique et le numérateur n indique le nombre de parties égales utilisées.
Par exemple, pour représenter la fraction 3⁄4, le dénominateur étant 4, on divise le rectangle en 4 parties égales, puis, le numérateur étant 3, on colore seulement trois des quatre parties.
Cette fraction sera équivalente au quotient entier de n par d, (qui représentera le nombre d'unités) suivi d'une fraction constituée par le reste de la division pour numérateur et d pour dénominateur.
Par exemple, pour la fraction 7/3, la division entière donne 2, il reste 1. Le quotient est 2 donc 2 unités, le reste 1 donc la fraction est équivalente à 2 1⁄3. Il est impossible de représenter ce genre de fraction par un unique rectangle, on présente donc deux rectangles pleins suivi d'un rectangle plein seulement au tiers :
Pour prendre les 2⁄3 de 750, on divise 750 par 3, puis on multiplie le résultat par 2 :
Prendre a⁄b de c revient à diviser c par b et à multiplier le tout par a. Ou plus simplement, quand on connaît les règles de calcul sur les fractions, prendre a⁄b de c revient à multiplier a⁄b par c. Plus généralement, on constate que le « de » est remplacé par une multiplication. Il en est de même quand on calcule 75 % de c, on doit juste calculer 75 % multiplié par c. En effet, 75 % est une fraction : 75 % = 75⁄100 = 0,75.
Si on multiplie, ou divise, le numérateur et le dénominateur d'une fraction par un même nombre, on obtient une fraction équivalente. Par exemple, dans la représentation ci-contre, on a multiplié le numérateur et le dénominateur de la première fraction par 2 pour obtenir la seconde fraction.
De manière générale, les fractions n/d et n′/d′ sont équivalentes dès que n × d′= d × n′. Par exemple, dans la représentation ci-contre, on sait que les fractions 4/6 et 6/9 sont équivalentes car 4 × 9 = 6 × 6
Certaines fractions peuvent être simplifiées, c'est-à-dire que n et d peuvent être divisés par un même nombre. Si on prend, pour la simplification, le plus grand nombre possible — ce nombre s'appelle le PGCD (plus grand commun diviseur) de n et d — on obtient une fraction irréductible, dont le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux.
Pour effectuer certaines opérations entre fractions, tous les dénominateurs des fractions doivent être égaux. Pour ce faire, il faut remplacer chaque fraction par une fraction équivalente, en s'arrangeant pour que tous les dénominateurs soient identiques. On cherche, en général, à ce que ce dénominateur soit le plus petit possible, en prenant le plus petit nombre qui soit divisible par chaque dénominateur. Ce nombre s'appelle le PPCM (plus petit commun multiple) des dénominateurs. L'opération s'appelle réduire au même dénominateur.
Exemple pour réduire au même dénominateur les fractions 3/4, 1/6, 5/9 et 14/15, on cherche le plus petit multiple commun de 4, 6, 9, 15 qui est 2 × 2 × 3 × 3 × 5, et on a :
Remarque : on peut aussi utiliser l'écriture décimale. Comme 1/4 = 0,25 et 2/5 = 0,4 et que l'on sait que 0,25 < 0,4 on a 1/4 < 2/5.
Un nombre décimal peut s'écrire comme une fraction qui a pour dénominateur une puissance de 10.
12,345 est l'écriture abrégée de . La virgule marque l'extension de la numération positionnelle vers les puissances négatives de la base 10.
Toute fraction possède un développement décimal fini ou infini périodique qui s'obtient en posant la division de n par d.
Inversement, tout nombre décimal ou possédant un développement décimal périodique peut s'écrire sous forme de fraction.
Il suffit de prendre comme numérateur le nombre décimal privé de sa virgule et comme dénominateur 10n où n est le nombre de chiffres après la virgule :
On commence par s'occuper de la partie entière : 3,4545... = 3 + 0,4545...
Un nombre périodique simple est un nombre décimal dans lequel la période commence immédiatement après la virgule. 0,666... ou 0,4545... ou 0,108108...
Pour le numérateur, il suffit d'utiliser la période tandis que le dénominateur sera composé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres composant la période.
Par exemple, pour 0,4545... la période est 45 et est composée de deux chiffres, on obtient la fraction 45/99 = 5/11.
Par conséquent : 3,4545... = 3 + 5/11 = 38/11.
Sinon, posons x = 0,4545454545...
100x = 45,4545454545... = 45 + x donc 100x – x = 45,4545454545... – 0,4545454545... = 45 donc 99x = 45 donc x = 45/99.
Un nombre décimal périodique mixte est un nombre décimal dans lequel la période ne commence pas immédiatement après la virgule, par exemple : 0,8333... ou 0,14666...
Pour trouver le numérateur de la fraction, il faut soustraire la valeur mixte de la valeur mixte suivie de la première période. Quant au dénominateur, il sera composé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres composant la période, suivis d'autant de zéros qu'il y a de chiffres après la virgule composant la valeur mixte.
Exemple : 0,36981981...
valeur mixte : 36
Valeur mixte suivie de la première période : 36981
Numérateur = 36981 – 36 = 36945
Dans la valeur 0,36981981..., la période 981 est constituée de 3 chiffres donc le dénominateur sera constitué d'une série de trois 9 suivis de deux zéros puisque la valeur mixte 36 est composée de deux chiffres. Finalement on obtient 0,36981981... = 36945/99900 = 821/2220.
Exemple 2 : .
Dans l'enseignement français depuis la fin du XIXe siècle, la fraction est définie comme le quotient de deux nombres entiers sans contrainte sur la taille du numérateur et du dénominateur, mais ce n'a pas toujours été le cas et ne l'est pas non plus dans d'autres pays.
Au XVIe siècle, la fraction était appelée nombre rompu et correspondait à une fraction de l'unité comme 1/2, 2/3, 3/4, 5/9, etc. L'encyclopédie de Diderot et d'Alembert définissait la fraction comme une division indiquée et distinguait la fraction pure, où le numérateur est plus petit que le dénominateur, la fraction mixte quand le numérateur est plus grand que le dénominateur et le nombre rationnel mixte, composé d'un entier et d'un fraction de l'unité, qui était d'un usage courant avec les unités de mesure usuelles, comme de nos jours dans les pays anglo-saxons. En Belgique au XIXe siècle ces concepts s’appelaient fraction ordinaire, fraction figurée ou fraction impropre ou nombre fractionnaire et nombre mixte ou nombre composé[9].
Dans les pays anglo-saxons, on considère qu'une fraction dont le numérateur est plus grand que le dénominateur est « impropre » (improper fraction). On utilise couramment le nombre mixte (au Québec, nombre fractionnaire), de la forme a b⁄c avec b < c [10]. Cette écriture se lit a + b⁄c et non pas a × b⁄c comme ce serait le cas si le deuxième terme n'était pas une fraction.
Un nombre mixte a l'avantage de résumer le résultat d'une division euclidienne[10].
En écrivant 2 7⁄9 plutôt que 25/9, on indique que le quotient de la division entière de 25 par 9 est bien 2 le reste 7.
Cette différence d'usage est due à la place prépondérante, en Europe continentale, du système décimal[11] à tel point que la maîtrise des fractions succède à celle des nombres décimaux dans l'enseignement français alors que c'est l'inverse par exemple en Nouvelle-Zélande[12].
Alors que les Européens continentaux utilisent volontiers les nombres à virgule, les Anglo-saxons préfèrent souvent exprimer les parties non entières par des fractions. Par exemple, ils diront d'une feuille au format Executive mesure 10 ¹⁄₂ × 7¼ pouces, et non pas 10,5 × 7,25 pouces.
Il suffit d'additionner ou de soustraire le numérateur de chaque fraction et de conserver le dénominateur commun.
Exemple d'une somme :
Exemple d'une différence :
Avant d'effectuer l'opération, chaque fraction doit être transformée en une fraction équivalente dont le dénominateur leur soit commun.
Exemple : 
La multiplication de deux fractions est simple à effectuer mais il n'est pas simple de comprendre pourquoi elle fonctionne ainsi. Par exemple,
Voici une explication basée sur une compréhension intuitive des fractions. On peut comprendre quatre cinquièmes comme quatre fois un cinquième (voir les représentations graphiques ci-dessus) soit comme . Ainsi multiplier par revient à effectuer .
Mais multiplier par un cinquième revient à diviser par 5, c'est-à-dire à multiplier le dénominateur par 5 (les parts sont 5 fois plus petites), soit : .
La division est l'opération inverse de la multiplication. De façon algorithmique, lorsqu'on divise par une fraction, on remplace la division par la multiplication tout en inversant la fraction qui suit. Par exemple :
Pour les fractions rationnelles, ou plus généralement pour le corps des fractions d'un anneau commutatif, la notion de dénominateur et de numérateur garde le même sens.
Le terme fraction, apparu en français à la fin du XIIe siècle, est un dérivé du bas latin fractio - « action de briser » - utilisé dans la terminologie mathématique médiévale pour désigner la « division ». Ce terme lui-même provient du latin classique frangere - « briser » - qui provient de la racine indo-européenne °bhreg qui a la même signification et dont dérive la racine gotique brikan qui donne break en anglais et brechen en allemand[13].
Les fractions furent autrefois nommées nombres rompus, terme encore utilisé au 18e siècle, par exemple dans l'Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers[14].
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