Utilisateur:Maimonid/Groupe de Galois
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En mathématiques, et plus spécifiquement en algèbre dans le cadre de la théorie de Galois, le groupe de Galois d'une extension galoisienne L d'un corps K, souvent noté Gal(L/K), est le groupe formé par l'ensemble des automorphismes de corps de L laissant K invariant, muni de l'opération usuelle de composition des applications.
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Le groupe de Galois d'une extension galoisienne L/K est l'expression de sa géométrie au sens de Felix Klein. Si cette extension est finie, elle se traduit par le fait qu'il existe une bijection entre les extensions M, intermédiaires entre K et L, et les sous-groupes du groupe de Galois de L/K. Si L/K est infinie, cette correspondance univoque a encore lieu entre les extensions intermédiaires de L/K et les sous-groupes du groupe de Galois vérifiant certaines conditions topologiques. Dans les deux cas, elle permet une compréhension profonde de la structure de l'extension, et fait du groupe de Galois l'instrument par excellence et le pilier de la théorie des corps commutatifs. L'étude des propriétés fondamentales du groupe de Galois, ainsi que ses applications les plus proches, constituent la théorie de Galois, qui, de par son élégance et ses applications nombreuses et variées, est considérée comme un modèle du genre mathématique. Une application historique est le théorème de Galois pour les équations algébriques, qui donne une condition nécessaire et suffisante de résolution par radicaux d'une équation polynomiale, portant sur le groupe de Galois associé à l'équation.