Théorie de Sturm-Liouville
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Cet article concerne les équations différentielles. Pour les fonctions polynomiales, voir Théorème de Sturm.
En mathématiques, la théorie de Sturm-Liouville étudie le cas particulier des équations différentielles linéaires scalaires d'ordre deux de la forme
dans laquelle le paramètre λ fait partie comme la fonction y des inconnues. La fonction w(x) est souvent appelé fonction "poids" ou "densité". Cette équation est fréquemment posée sur un segment [a,b] et accompagnée de conditions aux limites reliant les valeurs , , et . Les solutions λ et y du problème apparaissent alors comme valeur propre et vecteur propre de l'opérateur autoadjoint :
dans un espace de Hilbert L2([a, b], w(x) dx) des fonctions de carré sommable sur l'intervalle [a,b], muni de la mesure w(x)dx et du produit scalaire défini par :
- .
Le résultat principal de la théorie est l'existence d'une base hilbertienne de vecteurs propres associés à des valeurs propres formant une suite strictement croissante.
Cette théorie porte le nom des mathématiciens Charles Sturm (1803-1855) et Joseph Liouville (1809-1882) qui travaillèrent conjointement à sa mise en forme.