Théorème de Coppel
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En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, le théorème de Coppel, publié en 1955, est un théorème sur la convergence des suites numériques découvert par William Coppel[1].
On considère une fonction continue définie sur un intervalle réel fermé , et à valeurs dans ce même intervalle. On dit qu'un nombre de I est 1-périodique (pour ) s'il est un point fixe de , c'est-à-dire si . On dit qu'il est 2-périodique s'il n'est pas un point fixe, mais que . Dans ce cas, est appelé un 2-cycle. On définit de la même façon un nombre n-périodique pour et les n-cycles correspondants.
![{\displaystyle I=[a,b]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d6214bb3ce7f00e496c0706edd1464ac60b73b5)
Le théorème de Coppel dit que si ne possède pas de 2-cycle, alors pour tout nombre de l'intervalle, la suite récurrente , définie par et pour tout entier n, est convergente.
On remarque aisément que la réciproque est vraie, car si a un 2-cycle, , la suite récurrente définie par et oscille indéfiniment entre les deux valeurs et et donc ne converge pas[2].
Ce théorème est puissant car il permet de démontrer le phénomène de doublement de période de la suite logistique pour [3],[2].
![{\displaystyle \mu \in [3,\mu _{\infty }]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17362c1ad21a87df8dc0882967b5e68c22fb4140)
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