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En algèbre linéaire, une symétrie vectorielle est une application linéaire qu'on peut présenter de deux façons équivalentes[1] :
En considérant (K,+,.) un corps, (E,+,•) un K-espace vectoriel, F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E, la symétrie par rapport à F parallèlement à G est l'unique endomorphisme s de E tel que la restriction de s sur F est l'injection canonique de F dans E et la restriction de s sur G est l'opposé de l'injection canonique de G dans E.
N'importe quel vecteur x de E peut s'écrire d'une façon unique comme somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de G : . La symétrie par rapport à F parallèlement à G est alors l'application :
Il est immédiat de remarquer que s ∘ s = IdE .
Si la caractéristique de K est différente de 2 alors, pour tout endomorphisme s de E tel que s ∘ s = IdE, les sous-espaces Ker(s - IdE) et Ker(s + IdE) sont supplémentaires, et s est la symétrie par rapport au premier, parallèlement au second[2].
La notion de symétrie vectorielle est liée à celle des projecteurs et projections.
Dans un espace quadratique, la symétrie est dite orthogonale si les sous-espaces F et G sont orthogonaux. Une symétrie orthogonale est une isométrie.
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