Sphère unité
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En mathématiques, une sphère unité est une sphère de rayon 1, c'est-à-dire l'ensemble des points situés à une distance euclidienne 1 d'un point central dans l'espace tridimensionnel. Plus généralement, une n-sphère unité est une sphère de rayon 1 dans l'espace euclidien de dimension . Le cercle unité est un cas particulier de sphère unité dans le plan. Une boule unité (ouverte) est la région à l'intérieur d'une sphère unité, c'est-à-dire l'ensemble des points distants de moins de 1 du point central.
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Une sphère (ou une boule) de rayon 1 et ayant son centre à l'origine de l'espace est appelée la « sphère unité » (ou la « boule unité »). Toute sphère arbitraire peut être transformée en sphère unité par la combinaison d'une translation et d'une mise à l'échelle, de sorte que l'étude des sphères en général peut souvent être réduite à l'étude de la sphère unité.
La sphère unité est souvent utilisée comme modèle en géométrie sphérique car elle a une courbure sectionnelle constante de 1, ce qui simplifie les calculs. En trigonométrie, la longueur d'un arc de cercle sur le cercle unité est le radian, qui est utilisée pour mesurer la distance angulaire. En trigonométrie sphérique, la mesure d'une aire sur la sphère unité est le stéradian, qui est utilisée pour mesurer les angles solides.
Dans un contexte plus général, une sphère unité est l'ensemble des points situés à une distance 1 d'un point central fixe, pour une norme donnée, cette norme étant utilisée comme définition de la distance. De même, une boule unité (ouverte) est la région située à l'intérieur.